Физика · Механика · 1 курс

Гироскоп и прецессия

Почему вращающийся волчок не падает, а медленно поворачивает свою ось?

Ситуация

На празднике ваш младший брат раскрутил на столе деревянный волчок. Волчок наклонился, но не упал — его ось медленно описывает круг. В кабинете физики учитель подвесил вращающееся велосипедное колесо на верёвке за один конец оси: колесо не упало, а начало вращаться вокруг верёвки. Гирокомпас на корабле и гайка, переворачивающаяся на космической станции, подчиняются тем же законам. Почему вращающееся тело «уходит» не в сторону силы тяжести, а перпендикулярно ей?

Тема

Гироскоп и прецессия. Волчок, велосипедное колесо и самолётный гироскоп

Ключевые понятия

Момент импульса и прецессия
Уравнения Эйлера
Неустойчивость вращения вокруг средней оси

Формулы

\vec{τ} = \frac{d \vec{L}}{d t}, \vec{L} = I \vec{ω}

Момент силы изменяет момент импульса. Если внешнего момента нет, $\vec{L}$ сохраняется.

Ω = \frac{m g r}{I_{3} ω_{3}}, T_{p} = \frac{2 π}{Ω}

Угловая скорость и период прецессии быстро вращающегося гироскопа.

I_{1} {\dot{ω}}_{1} + (I_{3} - I_{2}) ω_{2} ω_{3} = M_{1}

Уравнения Эйлера (в главных осях тела); остальные два получаются циклической перестановкой индексов 1→2→3→1.

λ = ω \sqrt{\frac{(I_{2} - I_{1}) (I_{3} - I_{2})}{I_{1} I_{3}}}

При вращении вокруг средней оси малое отклонение растёт как $e^{λ t}$ ( $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ ) — эффект Джанибекова.

T = 2 π \sqrt{\frac{H}{K Ω_{\oplus︎} \cos φ}}

Период незатухающих колебаний маятникового гирокомпаса: $H$ — момент импульса ротора, $K$ — коэффициент момента маятника, $φ$ — широта.

Теория

Момент импульса и гироскоп

Момент импульса $\vec{L}$ вращающегося тела — вектор; если симметричное тело вращается вокруг своей оси, он направлен вдоль оси и $L = I_{3} ω_{3}$ . Момент силы $\vec{τ}$ изменяет его: $d \vec{L} = \vec{τ} d t$ . Момент силы тяжести перпендикулярен $\vec{L}$ , поэтому величина $L$ не меняется, поворачивается только его направление — ось не падает, а вращается в горизонтальной плоскости. Это прецессия. Если внешнего момента нет, $\vec{L}$ сохраняется: ось свободного гироскопа сохраняет своё направление в пространстве — на этом основаны ориентирующие приборы самолётов и космических аппаратов. (Сам закон $L = I ω$ — в эксперименте «Динамика твёрдого тела».)

Прецессия и нутация (случай Лагранжа)

Для тяжёлого симметричного волчка с неподвижной точкой опоры при быстром вращении $Ω \approx m g r / (I_{3} ω_{3})$ . Точная устойчивая прецессия — меньший корень уравнения $I_{1} \cos θ Ω^{2} - I_{3} ω_{3} Ω + m g r = 0$ ( $I_{1}$ — поперечный момент инерции относительно точки опоры). Если волчок отпустить без прецессии, ось слегка «ныряет» и колеблется — это нутация: след конца оси — линия с остриями; при обратном толчке — петли, при толчке вперёд — волны. Вертикально стоящий («спящий») волчок устойчив только при $I_{3}^{2} ω_{3}^{2} > 4 I_{1} m g r$ — в нашей модели ≈ 12 об/с. Сохраняются энергия, $L_{y}$ (вертикальная составляющая) и $L_{3}$ .

Углы Эйлера и уравнения Эйлера

Положение твёрдого тела задаётся тремя углами Эйлера: $φ$ — прецессия (от неподвижной оси $x$ до линии узлов), $θ$ — нутация (между вертикалью и осью симметрии), $ψ$ — собственное вращение (от линии узлов до белой точки на теле). Движение описывается уравнениями Эйлера; они записываются в главных осях, вращающихся вместе с телом. В симуляции $\vec{L}$ в осях тела и кватернион ориентации интегрируются методом РК4, кватернион на каждом шаге нормируется. Проверка: у волчка относительная погрешность $E$ и $L_{y}$ меньше $10^{- 7}$ .

Тензор инерции и свободное тело: случай Эйлера, средняя ось

«Сопротивление» твёрдого тела вращению — не одно число, а тензор инерции $I_{i j} = \sum m (r^{2} δ_{i j} - x_{i} x_{j})$ — симметричная таблица 3×3. Он связывает угловую скорость с моментом импульса: $L_{i} = I_{i j} ω_{j}$ , а кинетическая энергия $T = \frac{1}{2} I_{i j} ω_{i} ω_{j}$ ; в общем случае $\vec{L}$ и $\vec{ω}$ не параллельны. У любого тела есть три взаимно перпендикулярные главные оси инерции: в них тензор диагонален ( $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ — значения из раздела «Свободное вращение»), $\vec{L} = (I_{1} ω_{1}, I_{2} ω_{2}, I_{3} ω_{3})$ и $T = \frac{1}{2} (I_{1} ω_{1}^{2} + I_{2} ω_{2}^{2} + I_{3} ω_{3}^{2})$ . Ось симметрии или ось, перпендикулярная плоскости симметрии, — всегда главная: у Т-ручки это две оси, проходящие через центр масс параллельно ручкам, и нормаль к плоскости ручек. Если момента нет, $\vec{L}$ неподвижен в пространстве, энергия тоже сохраняется. А в осях тела конец $\vec{L}$ движется по линии пересечения сферы ( $| L |$ = const) с эллипсоидом энергии — по полодии (маленькая сфера на сцене). Вокруг осей с наименьшим и наибольшим $I$ эти линии — малые петли: вращение устойчиво. Через среднюю ось проходит сепаратриса: малое отклонение быстро растёт, и тело периодически переворачивается (эффект Джанибекова, «теорема о теннисной ракетке»). У симметричного диска ( $I_{1} = I_{2}$ ) ось симметрии вращается вокруг $\vec{L}$ со скоростью $L / I_{1}$ .

Гирокомпас и гироскопические силы

Земля вращается со скоростью $Ω_{\oplus︎} = 7,29 \cdot 10^{- 5}$ рад/с; на широте $φ$ её горизонтальная составляющая $Ω_{\oplus︎} \cos φ$ направлена на север. Если ось гирокомпаса отклонена от меридиана, вращение Земли наклоняет её, а вес маятника заставляет ось прецессировать к меридиану — ось колеблется около меридиана и благодаря затуханию устанавливается на истинный север. Если настроить период на $2 π \sqrt{R / g} \approx 84,4$ мин (период Шулера), ускорения корабля не искажают показаний. Вблизи полюса $\cos φ \to 0$ — компас перестаёт работать. Чтобы повернуть ось вращающегося ротора со скоростью $Ω$ , подшипники должны создать момент $M = I ω Ω$ — это гироскопические силы (турбины, винты). Гироскопический эффект велосипедного колеса помогает удерживать равновесие, но не обязателен: в 2011 году Коойман с коллегами показали, что велосипед с дополнительным колесом, вращающимся в обратную сторону (суммарный $L \approx 0$ ), тоже сам держит равновесие.

Лабораторная работа и упрощения модели

Лабораторная работа с колесом: выберите $r$ и частоту, измерьте период прецессии по $N$ полным оборотам как $T_{p} = t / N$ , вычислите $Ω = 2 π / T_{p}$ и нажмите «Добавить в таблицу». Повторите при нескольких частотах: график $Ω (1 / ω)$ — прямая, проходящая через начало координат, с наклоном $m g r / I_{3}$ — по нему находится $I_{3}$ . Упрощения: верёвка — идеальная неподвижная опора, трения и сопротивления воздуха нет (вращение не затухает), конец волчка не скользит; в гирокомпасе корабль стоит на месте, отклонение мало, время ускорено в 600 раз; Т-ручка — два сплошных стальных цилиндра.

Знаете ли вы?

В 1985 году во время экспедиции по ремонту станции «Салют-7» космонавт Владимир Джанибеков заметил, что вывинченная гайка с «крылышками» каждые несколько секунд переворачивается на 180°. Явление названо его именем, хотя оно следует из уравнений Эйлера для твёрдого тела.
Земля — тоже огромный волчок: из-за момента сил, с которым Солнце и Луна действуют на экваториальную выпуклость Земли, её ось совершает прецессию примерно за 26 000 лет. Поэтому Полярная звезда не будет «полярной» вечно.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Механика Лагранжа и хаос — 2 курс
Гамильтонова механика — 2 курс