Физика · Механика · 10 класс

Наклонная плоскость и машина Атвуда

Почему груз легче втащить по рампе, но работа не уменьшается?

Ситуация

Тяжёлый ящик трудно поднять в кузов грузовика руками, поэтому рабочие ставят пандус и втаскивают его по нему. Чем длиннее пандус, тем легче тянуть — но уменьшается ли и совершённая работа? При каком наклоне ящик начинает соскальзывать сам, в каком порядке скатятся с пандуса труба и цилиндры? А в лаборатории мы проверим законы Ньютона с помощью машины Атвуда и блока.

Тема

Наклонная плоскость и машина Атвуда. Погрузка в грузовик по рампе: трение, блок и КПД

Ключевые понятия

Наклонная плоскость
Сила трения
Коэффициент полезного действия

Формулы

F_{∥} = m g \sin θ, N = m g \cos θ, F_{т р} \leq μ_{0} N

Разложим силу тяжести на составляющие вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей; при скольжении $F_{т р} = μ N$ .

tg θ_{0} = μ_{0}, a = g (\sin θ - μ \cos θ)

Граница скольжения и ускорение при скольжении вниз (при толчке вверх $a = - g (\sin θ + μ \cos θ)$ ).

η = \frac{A_{f}}{A_{t}} = \frac{m g h}{F l} = \frac{\sin θ}{\sin θ + μ \cos θ}

КПД наклонной плоскости: полезная работа (подъём) / полная работа (протаскивание).

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}, T = \frac{2 m_{1} m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

Машина Атвуда (нить и блок невесомы). С блоком на плоскости: $a = (m_{2} g - m_{1} g \sin θ \mp μ m_{1} g \cos θ) / (m_{1} + m_{2})$ .

a = \frac{g \sin θ}{1 + I / (m r^{2})}

Ускорение тела, катящегося без проскальзывания: часть энергии идёт на вращение.

Теория

Раскладываем силы вдоль наклонной плоскости

На ящик действуют сила тяжести $m \vec{g}$ , реакция опоры $\vec{N}$ , сила трения и сила тяги. Выберем оси вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей: составляющая $m g$ вдоль плоскости $m g \sin θ$ тянет ящик вниз, перпендикулярную составляющую $m g \cos θ$ уравновешивает опора ( $N = m g \cos θ$ ). Сила трения покоя принимает любое значение до $μ_{0} N$ , а трение скольжения равно $μ N$ и направлено против движения ( $μ < μ_{0}$ ).

Граница скольжения и события

Ящик без тяги начинает скользить при $m g \sin θ > μ_{0} m g \cos θ$ , то есть при $tg θ > μ_{0}$ — масса сокращается. При скольжении вниз $a = g (\sin θ - μ \cos θ)$ . Ящик, толкнутый вверх, замедляется одновременно силой тяжести и трением, поэтому останавливается с $a = - g (\sin θ + μ \cos θ)$ , а затем, если $tg θ > μ_{0}$ , возвращается вниз с другим (меньшим) ускорением. Симуляция рассчитывает движение именно по этим событиям (старт, остановка, достижение края). При протаскивании сначала нужна большая сила — «пик» на графике динамометра есть момент преодоления трения покоя.

Лабораторная работа: КПД наклонной плоскости

Измерьте динамометром вес ящика $m g$ , затем равномерно протащите его по пандусу и запишите показание динамометра $F$ ; измерьте длину пандуса $l$ и высоту $h$ . Полезная работа $A_{п} = m g h$ (подъём груза), полная работа $A_{з} = F l$ , $η = A_{п} / A_{з} \cdot 100 %$ . Из-за трения $η < 1$ ; с ростом наклона КПД растёт, но и сила тяги растёт. Без трения $F l = m g h$ : наклонная плоскость даёт выигрыш в силе, но не в работе (золотое правило механики). Таблица результатов и график $η (θ)$ пополняются после каждого протаскивания.

Лабораторная работа: машина Атвуда

На нити, перекинутой через блок, висят два равных груза $M$ , на один из них положен небольшой перегрузок $m$ . Система движется равноускоренно с ускорением $a = m g / (2 M + m)$ . Измерив время $t_{1}$ прохождения пути $h_{1}$ , находим $a = 2 h_{1} / t_{1}^{2}$ и $g = a (2 M + m) / m$ . Когда кольцо задерживает перегрузок, грузы становятся равными, и движение продолжается равномерно (первый закон Ньютона): $v = h_{2} / t_{2} = a t_{1}$ . Если учесть массу блока, $a = m g / (2 M + m + I / r^{2})$ — кнопка «масса блока» даёт систематическую ошибку в измеренном $g$ . Натяжение нити $T_{1} = (M + m) (g - a)$ , $T_{2} = M (g + a)$ .

Тела, связанные через блок

Брусок $m_{1}$ на наклонной плоскости соединён через блок с висящим грузом $m_{2}$ . Сила, тянущая нить, — $m_{2} g$ , сопротивление — $m_{1} g \sin θ$ и трение. Если $| m_{2} g - m_{1} g \sin θ | \leq μ_{0} m_{1} g \cos θ$ , система покоится; иначе $a = (m_{2} g - m_{1} g \sin θ \mp μ m_{1} g \cos θ) / (m_{1} + m_{2})$ . Если $m_{2} = m_{1} (\sin θ + μ \cos θ)$ , толкнутый брусок поднимается вверх равномерно. Когда висящий груз коснётся пола, нить ослабнет, и брусок замедляется только под действием силы тяжести и трения.

Качение и момент инерции

Для тела, катящегося без проскальзывания, $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$ , $v = ω r$ , поэтому $a = g \sin θ / (1 + k)$ , $k = I / (m r^{2})$ : для шара $k = 2 / 5$ , для сплошного цилиндра $1 / 2$ , для тонкой трубы $1$ . Независимо от массы и радиуса первым приходит шар, последней — труба. Лабораторная работа: по времени $t$ качения на расстояние $d$ находят $k = g t^{2} \sin θ / (2 d) - 1$ и $I = k m r^{2}$ (подробнее — в эксперименте «Динамика твёрдого тела»). Модель: нить и блок невесомы (если кнопка не включена), $μ$ постоянно, сопротивления воздуха нет, катящиеся тела не проскальзывают.

Знаете ли вы?

Машину Атвуда описал английский математик Джордж Атвуд в 1784 году: из-за небольшой разности грузов движение медленное, и ускорение свободного падения можно было измерить обычными часами.
Галилей изучал закон свободного падения по шарам, катящимся по наклонному жёлобу: наклон замедлял движение и позволил измерить пропорциональность пути квадрату времени («Беседы о двух новых науках», 1638).

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс
Механика Лагранжа и хаос — 2 курс