Физика · Механика · 10 класс

Поворот на наклонной трассе

Что удерживает автомобиль в повороте и почему дорогу строят с наклоном?

Ситуация

На больших дорогах на поворотах полотно обычно слегка приподнято к внешнему краю, а на гоночных трассах виражи делают почти отвесными. Летом вы спокойно проходите поворот на скорости 90 км/ч, а зимой на обледенелой дороге машина не поворачивает, а скользит к обочине. Что заставляет автомобиль двигаться по окружности? Почему дорогу строят с наклоном и с какой наибольшей скоростью можно пройти поворот?

Тема

Движение по окружности. Автомобиль на повороте: почему дорогу строят с наклоном

Ключевые понятия

Центростремительное ускорение
Сила трения
Наклонная дорога

Формулы

a = \frac{v^{2}}{R}

Центростремительное ускорение: направление скорости непрерывно меняется.

N \sin θ + F \cos θ = \frac{m v^{2}}{R}, N \cos θ - F \sin θ = m g

Второй закон Ньютона на наклонной ( $θ$ ) дороге: горизонтальная и вертикальная составляющие.

v_{0} = \sqrt{g R tg θ}

Расчётная скорость: при этой скорости трение вообще не нужно.

v_{m a x} = \sqrt{g R \frac{μ + tg θ}{1 - μ tg θ}}

Наибольшая скорость, с которой можно пройти поворот без заноса. На ровной дороге $v_{m a x} = \sqrt{μ g R}$ .

v_{m i n} = \sqrt{g R \frac{tg θ - μ}{1 + μ tg θ}}

На крутой и скользкой дороге ( $tg θ > μ$ ) при меньшей скорости машина соскальзывает вниз.

Теория

Для поворота нужна сила

При равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется её направление — значит, есть ускорение: $a = v^{2} / R$ , оно направлено к центру (зелёная стрелка). Это ускорение создаёт центростремительная сила $F = m v^{2} / R$ . На ровной дороге эту силу создаёт только трение между шинами и дорогой, поэтому $v_{m a x} = \sqrt{μ g R}$ .

Почему дорогу строят с наклоном?

Если дорогу наклонить на угол $θ$ , сила реакции опоры $N$ тоже отклоняется к центру и сама создаёт часть центростремительной силы. При скорости $v_{0} = \sqrt{g R tg θ}$ она создаёт её целиком — трение равно нулю, и машина проходит поворот даже на льду. Если ехать быстрее, сила трения направлена вниз (к центру), если медленнее — вверх.

Занос: движение по касательной по инерции

Если необходимое трение превышает $μ N$ , шины начинают скользить. Машину никто не «выбрасывает наружу»: она по инерции стремится двигаться по касательной, а дорога поворачивает из-под неё. На льду след идёт почти точно по касательной — понаблюдайте за касательной линией в камере «Сверху». А на очень крутом и скользком вираже машина, идущая медленно, соскальзывает вниз, к центру.

Откуда формула: a = v²/R

За малое время $Δ t$ машина проходит дугу $Δ s = v Δ t$ , и вектор скорости поворачивается на угол $Δ φ = Δ s / R$ . Если модуль скорости не меняется, то ${\vec{v}}_{1}$ , ${\vec{v}}_{2}$ и $Δ \vec{v} = {\vec{v}}_{2} - {\vec{v}}_{1}$ образуют равнобедренный треугольник: $| Δ \vec{v} | \approx v Δ φ = \frac{v^{2} Δ t}{R}$ . Значит, $a = \frac{| Δ \vec{v} |}{Δ t} = \frac{v^{2}}{R}$ , а при $Δ t \to 0$ вектор $Δ \vec{v}$ направлен по радиусу к центру. Через угловую скорость $a = ω^{2} R = ω v$ . Посмотрите в камере «Сверху»: стрелка скорости не меняет длины, а только поворачивается.

Нормальное и тангенциальное ускорение

При криволинейном движении ускорение состоит из двух частей: нормальное (центростремительное) $a_{n} = v^{2} / R$ меняет направление скорости, а тангенциальное $a_{τ} = Δ v / Δ t$ — её величину; полное ускорение $a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{τ}^{2}}$ . Машина входит в поворот со скоростью $0,6 v$ и разгоняется с ускорением 3 м/с²: в этот момент на сцене видны обе зелёные стрелки, на графике $a_{τ} = 3$ м/с², а $a_{n}$ растёт пропорционально $v^{2}$ . Когда скорость установится, $a_{τ} = 0$ — это равномерное движение по окружности (подробнее — в эксперименте «Движение по окружности: велосипед»).

Упрощения модели

Автомобиль — материальная точка; двигатель поддерживает постоянную скорость вдоль дороги, учитывается только поперечное (боковое) трение. Коэффициент трения скольжения тоже принят равным $μ$ , сопротивление воздуха и сложные свойства шин не учитываются. После выхода с дороги в гравийной зоне замедление равно $0,5 g$ . В начале машина разгоняется от $0,6 v$ до выбранной скорости с ускорением $3$ м/с².

Знаете ли вы?

Основные виражи гоночной трассы в Дейтоне (США) построены с наклоном 31° — автомобили проходят их на скорости более 300 км/ч.
На велотреках виражи очень крутые — примерно 40–45°: велосипедист едет почти по стене, а если замедлится, соскользнёт вниз.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс