Физика · Механика · 9 класс

Упругость и деформация

Какой груз выдержит трос моста и когда он порвётся?

Ситуация

Полотно висячего моста подвешено на стальных тросах. Каждый трос удерживает десятки тонн груза и под этой нагрузкой вытягивается на несколько сантиметров — когда груз уходит, он возвращается к прежней длине. Но если нагрузка превысит норму, трос вытянется необратимо, а затем порвётся. Как инженер выбирает трос и какой груз можно на него подвесить? Для этого в лаборатории стальной образец разрывают на испытательной машине.

Тема

Упругость и деформация. Трос моста и разрыв стального образца: закон Гука и модуль Юнга

Ключевые понятия

Закон Гука
Модуль Юнга
Предел прочности

Формулы

F_{e l} = k x, E_{p} = \frac{k x^{2}}{2}

Закон Гука для пружины и потенциальная энергия деформированной пружины.

σ = \frac{F}{S}, ε = \frac{Δ L}{L_{0}}, σ = E ε

Механическое напряжение, относительное удлинение и закон Гука для стержня ( $E$ — модуль Юнга).

\frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}, k = k_{1} + k_{2}

Жёсткость последовательно и параллельно соединённых пружин.

ε_{⟂} = - ν ε, τ = G γ, G = \frac{E}{2 (1 + ν)}

Коэффициент Пуассона, сдвиг и модуль сдвига.

w = \frac{σ ε}{2} = \frac{E ε^{2}}{2}, δ = \frac{F l^{3}}{48 E I}, φ = \frac{32 M L}{π G d^{4}}

Плотность упругой энергии; формулы изгиба (балка с нагрузкой посередине) и кручения (проволока).

Теория

Откуда берётся сила упругости?

В твёрдом теле атомы связаны электромагнитными силами. Если тело растянуть или сжать, расстояние между атомами изменяется, и они стремятся вернуться в прежнее положение — возникает сила упругости, направленная против деформации. Сила натяжения нити, сила пружины и сила реакции опоры — всё это силы упругости: стол, нить, крючок деформируются незаметно для глаза. Такие связи ограничивают движение тела, а сила реакции подстраивается под груз: в опыте с весами $N = m g - k x$ . Сила тяжести $m g$ — притяжение Земли (закон всемирного тяготения и гравитационное поле — в эксперименте «Закон всемирного тяготения»), а вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Закон Гука, жёсткость и модуль Юнга

При малых деформациях сила пропорциональна деформации: для пружины $F = k x$ , для стержня $σ = E ε$ , то есть $k = E S / L_{0}$ . Жёсткость $k$ зависит от формы тела и материала; модуль Юнга $E$ — только от материала: сталь ≈ 200 ГПа, медь ≈ 120 ГПа, алюминий ≈ 70 ГПа, резина — несколько МПа. Упругость — свойство восстанавливать форму после снятия нагрузки, жёсткость — сопротивление деформации. При последовательном соединении на пружины действует одинаковая сила, удлинения складываются: $1 / k = 1 / k_{1} + 1 / k_{2}$ . При параллельном удлинение одинаково, силы складываются: $k = k_{1} + k_{2}$ . Энергия деформации $E_{p} = k x^{2} / 2$ , на единицу объёма — $w = E ε^{2} / 2$ .

Диаграмма растяжения

В начале графика — область закона Гука (прямая) до предела пропорциональности $σ_{пц}$ . Если снять нагрузку, не дойдя до предела упругости $σ_{у}$ , образец вернётся к прежней длине. Затем наступает текучесть: сила почти не меняется, а образец «течёт» (у меди явной площадки нет — берут условный предел $σ_{0,2}$ , при котором остаточная деформация составляет 0,2 %). После этого металл упрочняется, напряжение достигает вершины диаграммы — предела прочности $σ_{в}$ , на образце появляется шейка, и он разрывается. Если разгрузить образец в пластической области, линия разгрузки идёт параллельно прямой Гука — остаётся остаточная деформация. Площадь под диаграммой — работа, затраченная на единицу объёма. Пластичные материалы (сталь, медь) перед разрывом сильно вытягиваются, хрупкие (чугун, стекло) ломаются почти без растяжения.

Виды деформации

Растяжение (трос, цепь), сжатие (колонна, фундамент), сдвиг (заклёпка, болт: слои смещаются друг относительно друга, $τ = G γ$ ), кручение (вал, ось: сечения поворачиваются друг относительно друга — это неравномерный сдвиг), изгиб (балка, пролёт моста: верхний слой сжимается, нижний растягивается, посередине — нейтральный слой). Растянутый образец становится тоньше: $ε_{⟂} = - ν ε$ , коэффициент Пуассона у стали ≈ 0,29, у меди ≈ 0,34, у резины ≈ 0,5 (объём почти не меняется). Для изотропного материала $G = E / 2 (1 + ν)$ .

Упругий гистерезис

Если растянуть резину, а затем отпустить, кривая разгрузки проходит ниже кривой нагружения — получается петля. Площадь петли — энергия, превратившаяся в теплоту в единице объёма за каждый цикл. Поэтому на длинной дороге шины автомобиля нагреваются. Резина выдерживает до разрыва очень большую (сотни процентов) упругую деформацию, а металлы в упругой области работают почти без гистерезиса.

Лаборатория и инженерия

Модуль Юнга можно определить из растяжения ( $E = F L_{0} / (S Δ L)$ ) и из изгиба ( $δ = F l^{3} / 48 E I$ , $I = b h^{3} / 12$ ), модуль сдвига — из кручения ( $φ = 32 M L / π G d^{4}$ ). Инженер берёт напряжение в конструкции в несколько раз меньше предела прочности: коэффициент запаса $n = σ_{в} / σ$ . Тросы настоящих мостов свивают из высокопрочных стальных проволок с пределом прочности ≈ 1,6–1,9 ГПа. Твёрдые тела при нагревании расширяются ( $Δ L = α L_{0} Δ T$ ) — поэтому в мостах оставляют деформационные швы (эксперимент «Тепловое расширение»). Модель: кривые материалов подогнаны под типичные значения, температура образца постоянна.

Знаете ли вы?

Роберт Гук опубликовал закон упругости в 1676 году в виде зашифрованной анаграммы, а в 1678 году раскрыл её: латинское «ut tensio, sic vis» — «каково растяжение, такова и сила».
Модуль Юнга резины (несколько МПа) меньше, чем у стали (≈ 200 ГПа), более чем в десять тысяч раз — поэтому резина заметно растягивается даже усилием руки, а стальная проволока — нет.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Американские горки — 7 класс
История физики: Беруни, Улугбек — 7 класс
Векторы и относительность движения — 7 класс
Движение по окружности: велосипед — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс