Физика · Механика · 7 класс

Американские горки

Почему вагонетка не падает в верхней точке петли?

Ситуация

На американских горках в парке отдыха вагонетку оттягивают на 40-метровую башню и отпускают. В вагонетке нет двигателя — её движет только сила тяжести. Она ныряет вниз, делает вертикальную петлю вниз головой, затем снова поднимается на горку. Почему в верхней точке петли пассажиры не выпадают и с какой минимальной высоты нужно отпустить вагонетку?

Тема

Механическая работа и энергия. Горка в парке аттракционов: потенциальная и кинетическая энергия

Ключевые понятия

Сохранение механической энергии
Центростремительная сила
Работа силы трения

Формулы

\frac{m v^{2}}{2} + m g y + Q = m g h, Q = \int (μ N + \frac{1}{2} ρ C_{x} S v^{2}) d s

Закон сохранения энергии: кинетическая + потенциальная + тепло = начальная энергия. Работа трения и сопротивления воздуха превращается в тепло.

v = \sqrt{2 g (h - y)}

Скорость на любой высоте без трения — в формуле нет массы.

N = m (g \cos θ + v^{2} κ)

Сила реакции опоры: $θ$ — наклон пути, $κ = 1 / r$ — кривизна пути.

N_{верх} = m (\frac{v^{2}}{R} - g) \geq 0 \Rightarrow h \geq 2,5 R

Условие прохождения верха петли без падения.

A = F s \cos α, \sum A = Δ E_{k}, P = \frac{A}{t} = F v \cos α, F_{s} = - \frac{d U}{d s}

Работа, теорема о кинетической энергии, мощность и связь между консервативной силой и потенциальной энергией.

Теория

Превращение энергии

На вершине башни у вагонетки только потенциальная энергия $m g h$ . При спуске она превращается в кинетическую энергию, а при подъёме на петлю и горку возвращается обратно. Трение и сопротивление воздуха на каждом метре превращают немного энергии в тепло — в столбцах справа сумма всё время остаётся равной $m g h$ .

Что удерживает на петле?

В верхней точке петли и сила тяжести, и давление рельса $N$ направлены вниз — к центру. Их сумма даёт центростремительную силу: $m g + N = m v^{2} / R$ . Если $v^{2} < g R$ , $N$ получается отрицательной — рельс должен был бы тянуть вагонетку. Обычная вагонетка в этом случае упала бы. В настоящих аттракционах есть колёса, захватывающие рельс снизу (up-stop); наша модель тоже удерживает вагонетку на рельсе, но при $N < 0$ предупреждает. Из $v^{2} = 2 g (h - 2 R) \geq g R$ следует $h \geq 2,5 R$ .

Почему масса не важна?

И сила тяжести, и сила трения $μ N$ пропорциональны массе, поэтому ускорение $a = F / m$ от массы не зависит. Только сила сопротивления воздуха $\frac{1}{2} ρ C_{x} S v^{2}$ от массы не зависит — поэтому при включённом сопротивлении воздуха тяжёлая вагонетка идёт чуть быстрее.

Упрощения модели

Вагонетка — материальная точка на рельсе: её положение определяется пройденным по пути расстоянием $s$ . Путь состоит из прямых и дуг окружностей (кривизна точно известна), петля — точная окружность. Трение $F = μ | N |$ , сопротивление воздуха $C_{x} S = 0,9$ м², $ρ = 1,2$ кг/м³. Петля на изображении сдвинута вбок на 2,4 м (чтобы путь не пересекал сам себя) — на физику это не влияет. Тормоз — постоянное замедление.

Работа и мощность

Если сила перемещает тело на путь $s$ , она совершает работу: $A = F s \cos α$ (Дж). При спуске сила тяжести направлена вдоль движения — её работа положительна, при подъёме на горку против движения — отрицательна. Трение и сопротивление воздуха всегда направлены против движения, их работа всегда отрицательна. В показаниях «Работа и мощность» сумма работ всех сил равна изменению кинетической энергии: $\sum A = Δ E_{k}$ — работа есть мера изменения энергии. Мощность — скорость совершения работы: $P = A / t = F v \cos α$ (Вт). Она характеризует производительность механизма: если цепной подъёмник поднимает вагонетку в 600 кг на 40 м за 30 с, нужна мощность $P = m g h / t \approx 7,8$ кВт (без трения). Есть два вида потенциальной энергии: тела, поднятого над землёй, — $m g h$ , и упруго деформированного тела — $k x^{2} / 2$ ; натянутый лук отправляет стрелу именно за счёт этой энергии (эксперимент «Упругость и деформация»).

Кривая потенциальной энергии

Вагонетка движется как бусинка на рельсе — одномерно: её положение зависит только от $s$ , $E = \frac{1}{2} m v^{2} + U (s)$ . На графике «U(s)» профиль рельса нарисован в энергетическом масштабе, штриховая линия — полная энергия $E$ , отрезок между ними — $E_{k}$ . Вагонетка может двигаться только там, где $U (s) \leq E$ ; в точке $U = E$ она останавливается и возвращается (точка поворота). Сила вдоль рельса $F_{s} = - d U / d s$ : чем круче кривая, тем сила больше. $d U / d s = 0$ — равновесие: на дне ямы (U минимум) устойчивое, на вершине горки (U максимум) неустойчивое. Сила тяжести консервативна: её работа зависит только от начальной и конечной высоты, по замкнутому пути равна нулю. Трение неконсервативно (диссипативно): линия $E$ медленно опускается, энергия переходит в тепло. Если силы явно не зависят от времени (однородность времени), $E$ сохраняется — подробнее в эксперименте «Гамильтонова механика». Эти законы лежат в основе проектирования аттракционов, ГЭС и автомобильных тормозов.

Знаете ли вы?

В современных аттракционах петлю делают не круглой, а в форме капли (клотоиды), сужающейся кверху: внизу круглой петли на пассажиров действует очень большая перегрузка — даже при $h = 2,5 R$ $N = 6 m g$ .
У стальной вагонетки американских горок колёса трёх видов: идущие по рельсу сверху, боковые направляющие и удерживающие снизу (up-stop). Последние не дают вагонетке оторваться от рельса.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Масса и плотность — 7 класс
Торможение автомобиля — 7 класс
Давление твёрдого тела — 7 класс
Атмосферное давление — 7 класс
Законы Ньютона — 7 класс
История физики: Беруни, Улугбек — 7 класс
Векторы и относительность движения — 7 класс
Движение по окружности: велосипед — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс