Физика · Механика · 7 класс

Векторы и относительность движения

Почему лодка, пересекающая Амударью, выходит не напротив, а ниже по течению?

Ситуация

Вы на моторной лодке хотите переправиться от пристани на одном берегу Амударьи точно к пристани на противоположном берегу. Река течёт быстро: если направить нос лодки прямо на противоположный берег, течение снесёт её вниз. Человек на берегу, рыбак на плоту, плывущем по течению, и вы в лодке видите одно и то же движение по-разному. Куда надо повернуть лодку и какой путь самый быстрый?

Тема

Векторы и относительность движения. Переправа через Амударью на лодке: скорости лодки и течения складываются

Ключевые понятия

Сложение векторов
Сложение скоростей
Относительность Галилея

Формулы

\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}

Классический закон сложения скоростей: скорость относительно берега = скорость относительно воды + скорость течения.

x^{'} = x - u t, y^{'} = y, t^{'} = t

Преобразования Галилея: переход в систему отсчёта, движущуюся вместе с течением (плот).

V_{x} = u - v \sin α, V_{y} = v \cos α

Векторное равенство в проекциях на оси координат (скалярный вид); $α$ — угол между носом лодки и перпендикуляром к берегу.

t = \frac{d}{v \cos α}, s = (u - v \sin α) t, \sin α^{*} = \frac{u}{v}

Время переправы, снос вдоль течения и условие переправы без сноса ( $v > u$ ).

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos φ = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y}

Скалярное произведение двух векторов — число (скаляр).

Теория

Скалярные и векторные величины

Масса, время, путь, энергия полностью задаются одним числом: это скалярные величины. Для перемещения, скорости, силы нужно ещё и направление — это векторы. Вектор можно задать двумя равноценными способами: модулем и направлением ( $| \vec{a} |$ , $θ$ ) или координатами ( $a_{x} = | \vec{a} | \cos θ$ , $a_{y} = | \vec{a} | \sin θ$ , $| \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$ ). В режиме «Векторы» ползунки меняют первый способ, а перетаскивание мышью — второй; результат одинаков. Положение тела задаёт радиус-вектор $\vec{r}$ , проведённый к нему от начала отсчёта; скорость — его производная $\vec{v} = d \vec{r} / d t$ , а перемещение — интеграл от скорости.

Сложение, вычитание, скалярное произведение

Векторы складываются по правилу треугольника (второй откладывают от конца первого) или параллелограмма. Разность $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$ — вектор, направленный от конца $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$ . Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos φ$ — это проекция $\vec{a}$ на направление $\vec{b}$ , умноженная на $| \vec{b} |$ . Для перпендикулярных векторов оно равно нулю, и тогда $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ , так как $| \vec{a} \pm \vec{b} |^{2} = a^{2} + b^{2} \pm 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ . Физическую формулу можно записать в векторном виде ( $\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$ , $m \vec{a} = \vec{F}$ ) или в виде скалярных уравнений на осях — смысл один и тот же.

Сложение движений и принцип независимости

Сложное движение лодки относительно берега — сумма двух независимых простых движений: со скоростью $\vec{v}$ относительно воды и вместе с водой со скоростью $\vec{u}$ . Они не мешают друг другу: время переправы зависит только от поперечной составляющей $V_{y} = v \cos α$ , а течение лишь сносит лодку. Поэтому самый быстрый путь — $α = 0$ ( $t_{m i n} = d / v$ ). Чтобы переправиться без сноса, нос надо повернуть против течения на угол $\sin α = u / v$ — это возможно только при $v > u$ и занимает больше времени. При $v < u$ наименьший снос получается при $\sin α = v / u$ : $s_{m i n} = d \sqrt{u^{2} - v^{2}} / v$ .

Системы отсчёта и относительность Галилея

Движение всегда описывается относительно некоторой системы отсчёта (тело + координаты + часы). С берега след лодки — наклонная прямая, с плота — прямая вдоль носа, а из лодки берег и плот уплывают назад. Траектория и скорость относительны, но время, ускорение и продолжительность переправы одинаковы во всех системах. Инерциальная система — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно (первый закон Ньютона); любая система, равномерно движущаяся относительно неё, тоже инерциальна. Принцип Галилея: во всех инерциальных системах законы механики одинаковы — выбор системы законов не меняет. Когда лодка отходит от берега или поворачивает, она становится неинерциальной системой: пассажира толкают силы инерции (об этом — эксперименты «Фуко» и «Законы Ньютона»).

Границы применимости

Закон Галилея $\vec{V} = \vec{v} + \vec{u}$ верен, когда скорости много меньше скорости света $c$ . При скоростях, близких к ней, применяют преобразования Лоренца и релятивистский закон сложения $V = (v + u) / (1 + v u / c^{2})$ (эксперимент «Специальная теория относительности»). Для лодки поправка $v u / c^{2} \sim 10^{- 16}$ — её не заметит ни один прибор. В теоретической механике галилеева инвариантность выглядит так: функция Лагранжа свободной частицы $L = m v^{2} / 2$ при смене системы меняется лишь на полную производную по времени, а уравнения движения не меняются. Модель упрощена: течение одинаково по всей ширине (на деле у берега оно медленнее), скорость лодки устанавливается мгновенно.

Сложение сил и разложение на составляющие

Баржу тянут два буксира. Равнодействующую сил, приложенных к одной точке, находят по правилу параллелограмма: $\vec{R} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}$ , $R_{x} = F_{1} \cos θ_{1} + F_{2} \cos θ_{2}$ . Если силы приложены к разным точкам тела, их переносят вдоль линий действия в точку пересечения и складывают — $\vec{R}$ проходит через эту точку. Для параллельных сил $R = F_{1} + F_{2}$ , а точка приложения делит расстояние обратно пропорционально силам: $F_{1} a_{1} = F_{2} a_{2}$ . Если $\vec{R}$ не проходит через центр масс, момент силы поворачивает баржу. Каждую силу можно разложить на составляющие: вдоль оси баржи (тянущую вперёд) и перпендикулярную ей (толкающую вбок); если боковые составляющие уравновешивают друг друга, баржа идёт прямо.

Знаете ли вы?

Древнегреческие и римские авторы называли Амударью Оксом (Oxus), а в арабских и персидских источниках средних веков она упоминается под именем Джейхун.
В 1632 году Галилей в книге «Диалог о двух главнейших системах мира» описал мысленный опыт в каюте корабля: если корабль плывёт ровно, то бабочки, рыбы и капли внутри ведут себя так же, как на берегу — никакой опыт не позволяет заметить движение корабля.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Давление твёрдого тела — 7 класс
Атмосферное давление — 7 класс
Законы Ньютона — 7 класс
Американские горки — 7 класс
История физики: Беруни, Улугбек — 7 класс
Движение по окружности: велосипед — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс