Физика · Механика · 7 класс

Движение по окружности: велосипед

Почему велосипед разгоняется при смене передачи, хотя педали вращаются так же?

Ситуация

Вы занимаетесь на велосипеде, установленном на велотренажёре: заднее колесо касается ролика и вращает его, а ролик через ремень вращает тяжёлый маховик. Вы вращаете педали 60 раз в минуту, но стоит переключить передачу, и спидометр показывает совсем другую скорость. С какой скоростью и ускорением движется точка на шине колеса? Почему капли с мокрого колеса вылетают по касательной?

Тема

Равномерное движение по окружности. Велосипедное колесо и звёздочки: угловая скорость, период и цепная передача

Ключевые понятия

Угловая скорость и период
Центростремительное ускорение
Цепная передача

Формулы

ω = \frac{Δ φ}{Δ t} = \frac{2 π}{T} = 2 π ν

Угловая скорость (рад/с), период вращения $T$ и частота $ν = 1 / T$ .

v = ω R

Связь линейной и угловой скоростей: у одного колеса $ω$ одинакова, а $v$ пропорциональна радиусу.

a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = ω^{2} R, a_{τ} = ε R, a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{τ}^{2}}

Нормальное (центростремительное), тангенциальное (касательное) и полное ускорения; $ε = Δ ω / Δ t$ — угловое ускорение.

i = \frac{ω_{2}}{ω_{1}} = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}

Передаточное отношение: в цепной и зубчатой передачах — отношение чисел зубьев, в ременной и фрикционной — отношение радиусов.

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}, \vec{ε} = \frac{d \vec{ω}}{d t}

Векторная форма: $\vec{ω}$ и $\vec{ε}$ направлены вдоль оси (правило правого винта).

Теория

Что описывает вращательное движение?

Период $T$ — время одного полного оборота, частота $ν = 1 / T$ — число оборотов в секунду (Гц). Велосипедисты измеряют частоту вращения педалей — каденс — в оборотах в минуту: 60 об/мин = 1 Гц. Угловая скорость $ω = Δ φ / Δ t$ — угол, на который радиус поворачивается за секунду (рад/с); один оборот — это $2 π$ радиан, поэтому $ω = 2 π / T = 2 π ν$ . Если $ω$ постоянна — это равномерное вращение.

Линейная скорость направлена по касательной

Все точки колеса вращаются с одной и той же $ω$ , но за один оборот точка на ободе проходит путь $2 π R$ : $v = ω R$ . Вектор скорости в каждый момент направлен по касательной к окружности — оторвавшаяся от шины капля вылетает именно в этом направлении, а затем под действием силы тяжести описывает параболу (дальность и высота полёта — в эксперименте «Баскетбол: штрафной бросок»). Спидометр тренажёра показывает $v = ω R$ : на дороге велосипед ехал бы с той же скоростью.

Ускорение есть, даже если модуль скорости постоянен

При равномерном вращении направление скорости непрерывно поворачивается, поэтому точка получает направленное к центру нормальное (центростремительное) ускорение: $a_{n} = v^{2} / R = ω^{2} R$ . При 36 км/ч для точки на шине колеса 700C оно ≈ 300 м/с² — в 30 раз больше ускорения свободного падения; его обеспечивают обод и спицы. При любом криволинейном движении $a_{n} = v^{2} / ρ$ , где $ρ$ — радиус кривизны (для окружности $ρ = R$ ).

Неравномерное вращение: тангенциальное ускорение

Если сильнее нажимать на педали, $ω$ растёт — появляется угловое ускорение $ε = Δ ω / Δ t$ . Точка на ободе теперь получает и тангенциальное (касательное) ускорение $a_{τ} = ε R$ вдоль скорости; полное ускорение $a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{τ}^{2}}$ отклоняется от радиуса на угол $tg β = a_{τ} / a_{n}$ . При малой скорости $\vec{a}$ направлено почти по касательной, при большой — почти к центру: наблюдайте за стрелками (стрелка $a_{τ}$ увеличена для наглядности, кратность указана). Векторы $\vec{ω}$ и $\vec{ε}$ направлены вдоль оси колеса.

Передачи: цепная, зубчатая, ременная, фрикционная

Цепь без проскальзывания проходит по зубьям звёздочек: за секунду через обе звёздочки проходит одно и то же число звеньев, поэтому $z_{1} n_{1} = z_{2} n_{2}$ и $i = z_{1} / z_{2}$ . У непосредственно зацепленных зубчатых колёс отношение такое же, только направление вращения противоположное. В ременной передаче скорость ремня на обоих шкивах одинакова: $ω_{1} r_{1} = ω_{2} r_{2}$ , направление одно и то же. В фрикционной передаче (шина → ролик) два колеса касаются друг друга и взаимодействуют трением: в точке касания скорости равны, направление противоположное. Общее отношение на тренажёре — произведение трёх отношений. Если большая звёздочка спереди, а малая сзади, передача «тяжёлая»: скорость большая, но педали крутить трудно.

Твёрдое тело: поступательное и вращательное движение

На тренажёре колесо только вращается. А на дороге оно одновременно совершает поступательное (центр движется со скоростью $v$ ) и вращательное движение: скорость точки равна ${\vec{v}}_{центра} + \vec{ω} \times \vec{r}$ . Точка шины, касающаяся земли, на мгновение неподвижна, самая верхняя точка движется со скоростью $2 v$ , а точка на ободе описывает циклоиду (кнопка «Относительно земли»). Угловая скорость — величина, относящаяся ко всему телу: она одинакова для всех точек колеса (момент инерции и момент импульса — в эксперименте «Динамика твёрдого тела»). Модель: цепь нерастяжима, ролик не проскальзывает, каденс задаёт сам велосипедист, ускорение при педалировании постоянно.

Знаете ли вы?

Шаг велосипедной цепи 1/2 дюйма, то есть 12,7 мм: каждому зубу звёздочки соответствует одно звено цепи, поэтому звёздочка с 52 зубьями за один оборот протягивает цепь на 52 × 12,7 ≈ 660 мм.
Велосипедные колёса обозначают по стандарту ISO 5775 (ETRTO) посадочным диаметром обода: у колеса «700C» шоссейных велосипедов этот диаметр равен 622 мм.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Атмосферное давление — 7 класс
Законы Ньютона — 7 класс
Американские горки — 7 класс
История физики: Беруни, Улугбек — 7 класс
Векторы и относительность движения — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс