Физика · Механика · 10 класс

Баскетбол: штрафной бросок

Под каким углом нужно бросить мяч, чтобы он попал в корзину?

Ситуация

До конца игры осталась 1 секунда, счёт равный. Вы стоите на линии штрафного броска — корзина в 4,2 м от вас на высоте 3,05 м. Под каким углом и с какой скоростью нужно бросить мяч, чтобы он попал в кольцо? А на Луне или на Юпитере?

Тема

Тело, брошенное под углом к горизонту. Баскетбол: штрафной бросок и трёхочковый

Ключевые понятия

Тело, брошенное под углом к горизонту
Проекции скорости
Сопротивление воздуха

Формулы

x = v_{0} \cos α \cdot t, y = h + v_{0} \sin α \cdot t - \frac{g t^{2}}{2}

Два независимых движения: горизонтальное — равномерное, вертикальное — равноускоренное.

y (x) = h + x tg α - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α}

Уравнение траектории — парабола.

v_{0} = \sqrt{\frac{g d^{2}}{2 \cos^{2} α (d tg α - Δ y)}}

Скорость, необходимая для попадания в центр кольца ( $d$ — расстояние, $Δ y$ — на сколько кольцо выше руки).

T = \frac{2 v_{0} \sin α}{g}, L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}, H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}

При возвращении на ту же высоту: время полёта, дальность полёта, высота подъёма.

a_{τ} = - g \frac{v_{y}}{v}, a_{n} = g \frac{v_{x}}{v}, R = \frac{v^{2}}{a_{n}}

Тангенциальное и нормальное ускорение, радиус кривизны траектории (без воздуха).

Теория

Два движения одновременно

Если нет сопротивления воздуха, на мяч действует только сила тяжести, и она направлена вниз. Поэтому горизонтальная скорость $v_{x}$ не меняется на протяжении всего полёта, а вертикальная скорость $v_{y}$ каждую секунду уменьшается на $g$ . На графике $v_{x}$ — горизонтальная линия, $v_{y}$ — наклонная прямая.

Почему не 45°?

До цели на одной высоте с точкой броска достаточно наименьшей скорости при угле 45°. Но кольцо примерно на 1 м выше руки, да и мяч должен попасть в него сверху: чем круче он падает, тем больше «видимое» отверстие кольца. Поэтому штрафной бросок обычно выполняют под углом круче 50°.

Сопротивление воздуха

Баскетбольный мяч лёгкий и большой, поэтому при скорости 7 м/с сила сопротивления $F_{с} = \frac{1}{2} ρ C_{d} A v^{2}$ составляет около 10 % от силы тяжести. Она тормозит мяч: $v_{x}$ медленно уменьшается, и к концу траектории парабола становится круче.

Криволинейное движение: нормальное и тангенциальное ускорение

Разложим ускорение $\vec{g}$ на две составляющие: вдоль скорости — тангенциальное $a_{τ}$ (меняет модуль скорости) и перпендикулярное ей — нормальное $a_{n}$ (поворачивает направление скорости). При подъёме $a_{τ} < 0$ — мяч замедляется, при падении $a_{τ} > 0$ . В верхней точке $a_{τ} = 0$ , $a_{n} = g$ , радиус кривизны наименьший: $R = v_{x}^{2} / g$ . Следите за зелёными стрелками на сцене и за значениями $a_{τ}$ , $a_{n}$ , $R$ в разделе «Измерения». График координат: $x (t)$ — прямая, $y (t)$ — парабола; исключив из них $t$ , получим уравнение траектории $y (x)$ .

Лаборатория: метательное устройство

Пружинное устройство выбрасывает шарик с высоты $h$ , место его падения на пол измеряется рулеткой. Горизонтальный бросок ( $α = 0$ ): $t = \sqrt{2 h / g}$ , $L = v_{0} t$ , откуда $v_{0} = L \sqrt{g / (2 h)}$ ; конечная скорость $v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g h}$ , угол падения $tg β = \sqrt{2 g h} / v_{0}$ . Под углом: горизонтальная скорость не меняется, поэтому по времени полёта $T$ и дальности $L$ находим $v_{0} = \frac{L}{T \cos α}$ , $h_{m a x} = h + \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}$ ; при возвращении на тот же уровень $L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}$ и $h_{m a x} = \frac{L}{4} tg α$ . $α = 90 °$ — бросок вертикально вверх, $v_{0} = 0$ — свободное падение (подробнее — в эксперименте «Свободное падение и воздух»). Шарик маленький и тяжёлый, сопротивление воздуха не учитывается.

На других планетах

Нужная скорость $v_{0} \propto \sqrt{g}$ . На Луне $g$ в 6 раз меньше, значит, при том же угле скорость нужна в $\sqrt{6} \approx 2,4$ раза меньше, а полёт длится во столько же раз дольше.

Знаете ли вы?

По данным исследований, наиболее удобный угол штрафного броска — примерно 50–55°: при нём небольшая ошибка в скорости меньше всего влияет на результат.
Кольцо находится на высоте 3,05 м (10 футов) от пола. Этот размер не менялся с 1891 года, когда Джеймс Нейсмит прибил персиковые корзины к балкону спортивного зала.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Движение по окружности: велосипед — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс