Физика · Механика · 10 класс

Простые механизмы: рычаг, блок

Почему кран не опрокидывается и как блок уменьшает силу?

Ситуация

На стройплощадке в Ташкенте башенный кран переносит бетонные блоки массой в несколько тонн на расстояние до 40 метров. Сам кран тяжёлый, а его основание всего несколько метров в ширину. Почему он не опрокидывается? А внизу рабочий легко поднимает мешок цемента с помощью простой системы блоков — полиспаста. Как поднять тяжёлый груз малой силой и какова за это «цена»?

Тема

Простые механизмы: рычаг и блок. Строительный кран: тяжёлый груз малой силой

Ключевые понятия

Момент силы
Равновесие рычага
Золотое правило механики

Формулы

M = F d

Момент силы: сила × плечо (расстояние от оси вращения до линии действия силы).

m_{q} g c \approx m g d + m_{s} g x_{s}

Кран — рычаг: момент противовеса уравновешивает моменты груза и стрелы. Башня — точка опоры.

| M | \leq M_{уд} = m_{общ} g a

Условие устойчивости: результирующий момент не должен превышать момент, который может удержать весь вес крана на плече $a = 2$ м.

F = \frac{m g}{n} (идеал), η = \frac{m g h}{F s}

Полиспаст: груз распределяется на $n$ ветвей верёвки. При наличии трения $F$ больше, а КПД $η < 1$ .

s = n h, F s = m g h

Золотое правило механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в пути — выигрыша в работе нет.

Теория

Кран — огромный рычаг

Стрела и консоль (задняя часть) башенного крана — это рычаг, который может поворачиваться вокруг башни. Каждая сила тяжести создаёт вращающий момент: $M = F d$ . Груз вращает вправо, противовес — влево. Если моменты равны, рычаг в равновесии. Чем дальше груз, тем больше его момент, поэтому на конце стрелы кран поднимает только лёгкий груз.

Почему кран не опрокидывается?

Основание крана имеет ширину $2 a = 4$ м. Пока центр тяжести всего крана находится над основанием, сила тяжести удерживает кран на месте. Если результирующий момент превысит $m_{общ} g a$ , центр тяжести выйдет за ребро основания, и кран опрокинется вокруг этого ребра. Шар на сцене и точка, опущенная от него на землю, — это центр тяжести крана. Слишком далеко сдвигать противовес тоже опасно: кран без груза опрокинется назад.

Блок и полиспаст

Неподвижный блок не даёт выигрыша в силе — он лишь меняет направление силы. Подвижный блок распределяет груз на две ветви верёвки. В полиспасте, состоящем из нескольких блоков, груз удерживают $n$ ветвей, и натяжение в каждой равно $m g / n$ . Но чтобы поднять груз на $h$ , каждая ветвь должна укоротиться на $h$ — верёвку приходится вытянуть на $s = n h$ .

Момент — вектор; пара сил

Момент силы — не просто число, а вектор: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ . Его модуль равен $F d$ ( $d$ — плечо силы, кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы), а направлен он вдоль оси вращения — по правилу буравчика: если вращать буравчик в ту сторону, куда сила поворачивает тело, он будет перемещаться в сторону $\vec{M}$ . В кране груз вращает стрелу по часовой стрелке, противовес — в обратную сторону: их векторы моментов противоположны, а сумма $\sum \vec{M}$ должна быть небольшой (включите «Векторы моментов»). Пара сил — это две параллельные силы, равные по модулю, противоположные по направлению и не лежащие на одной прямой: поворот руля двумя руками, гаечный ключ, ручка водопроводного крана. Их равнодействующая равна нулю, они не сдвигают тело, а только вращают его: момент $M = F d$ ( $d$ — расстояние между линиями действия сил) относительно любой точки один и тот же.

Другие механизмы и динамика опрокидывания

Простые механизмы, основанные на правиле моментов: рычаги (ножницы, щипцы, тачка), ворот (колодезный ворот) — малая сила на большом радиусе уравновешивает большую силу на малом радиусе, зубчатые и цепные передачи (велосипед). Блок — тоже рычаг: неподвижный блок — рычаг с равными плечами, у подвижного блока плечи относятся как 1 : 2. «Соберите» простой механизм сами: выберите число ветвей в полиспасте и измерьте силу и путь. Если равновесие нарушено, кран опрокидывается вокруг ребра основания по закону динамики вращательного движения: $I ε = M$ , где $I = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ — момент инерции относительно ребра. Например, если считать башню стержнем, то относительно оси, проходящей через нижний конец, по теореме Штейнера $I = \frac{1}{12} m H^{2} + m {(\frac{H}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m H^{2}$ (подробнее — в эксперименте «Динамика твёрдого тела»).

Золотое правило и модель

В идеальном механизме совершённая работа $F s$ равна полезной работе $m g h$ : простые механизмы не дают выигрыша в работе. При наличии трения каждый блок передаёт примерно 95 % натяжения, затраченная работа больше, а КПД меньше 100 %. Упрощения модели: массы частей крана приблизительные, кран — твёрдое тело, ветра нет; опрокидывание — вращение вокруг ребра основания; массы блоков и верёвки не учитываются.

Знаете ли вы?

Согласно преданию, Архимед сказал о рычаге: «Дайте мне точку опоры — и я сдвину Землю». Эти слова приводят жившие после него греческие учёные (например, Папп Александрийский).
Римский архитектор Витрувий (I в. до н. э.) в «Десяти книгах об архитектуре» описал подъёмные машины с тремя блоками (трипаст) и с пятью блоками (пентаспаст). Слово «полиспаст» по-гречески означает «многотянущий».

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Векторы и относительность движения — 7 класс
Движение по окружности: велосипед — 7 класс
Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс