Физика · Механика · 10 класс

Импульс и его сохранение

Как нас спасают ремень безопасности и подушка безопасности?

Ситуация

На автозаводах новые машины специально разбивают о бетонную стену: внутри сидит манекен, набитый датчиками. За десятую долю секунды машина останавливается с 50 км/ч. Как ремень безопасности, подушка безопасности и зона смятия кузова спасают человека? А куда девается импульс при столкновении двух машин?

Тема

Импульс и его сохранение. Краш-тест: ремень безопасности и подушка безопасности

Ключевые понятия

Импульс силы
Сохранение импульса
Неупругое столкновение

Формулы

F Δ t = Δ p = m Δ v

Теорема об импульсе: при одинаковом $Δ p$ чем дольше время остановки $Δ t$ , тем меньше сила.

a = \frac{v_{0}^{2}}{2 s}, Δ t = \frac{2 s}{v_{0}}

Равномерное замедление на длине зоны смятия $s$ : ускорение машины и время остановки.

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} = (m_{1} + m_{2}) v_{c}

Закон сохранения импульса: внутренние силы не меняют полный импульс — а значит, и скорость центра масс $v_{c}$ .

e = \frac{v_{2}^{'} - v_{1}^{'}}{v_{1} - v_{2}}

Коэффициент восстановления: $e = 1$ — упругий, $e = 0$ — абсолютно неупругий удар (тела движутся вместе).

Δ E = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {(v_{1} - v_{2})}^{2} (1 - e^{2})

Кинетическая энергия, перешедшая в деформацию и теплоту.

Теория

Сила × время = изменение импульса

Чтобы остановить манекен, летящий со скоростью 50 км/ч, его импульс $p = m v_{0}$ в любом случае должен упасть до нуля — это изменить нельзя. Можно изменить время остановки $Δ t$ : $F = Δ p / Δ t$ . Зона смятия машины увеличивает тормозной путь и время. Ремень замедляет человека вместе с машиной на всём пути зоны смятия, а подушка даёт дополнительный путь и распределяет силу на большую площадь. Ускорение измеряют в $g$ : 40 g — сила в 40 раз больше силы тяжести.

Манекен без ремня: «второй удар»

Без ремня при замедлении машины манекен по инерции (первый закон Ньютона) продолжает двигаться с прежней скоростью. Когда машина почти остановилась, он ударяется о руль с относительной скоростью ≈ 12 м/с и останавливается на нескольких сантиметрах — ускорение превышает 100 g. Подушка рассчитана на работу вместе с ремнём: современный ремень в момент удара подтягивается, а ограничитель усилия отпускает его после 6,5 кН, остальной путь гасит подушка.

Замкнутая система и сохранение импульса

При ударе на машины действуют и внешние силы, например трение о дорогу, но они в десятки–сотни раз меньше силы столкновения: две машины можно считать замкнутой системой — набором тел, действующих только друг на друга. По третьему закону Ньютона ${\vec{F}}_{12} = - {\vec{F}}_{21}$ , по второму $Δ {\vec{p}}_{1} = {\vec{F}}_{21} Δ t$ и $Δ {\vec{p}}_{2} = {\vec{F}}_{12} Δ t$ — сумма равна нулю. Значит, полный импульс сохраняется при любом столкновении: линия $p_{1} + p_{2}$ на графике горизонтальна. Кинетическая энергия же сохраняется только при упругом ударе ( $e = 1$ ); при неупругом часть её переходит в деформацию и теплоту, больше всего при $e = 0$ — если машина равной массы врезается в стоящую, ровно половина.

Центр масс, распад и законы сохранения

Центр масс (инерции) системы $x_{c} = \sum m_{i} x_{i} / \sum m_{i}$ движется так, будто вся масса сосредоточена в нём и на него действуют только внешние силы: $M {\vec{a}}_{c} = {\vec{F}}_{внеш}$ . Внутренние силы его не меняют — метка «центр масс» (шарик) на сцене и при столкновении движется равномерно со скоростью $v_{c} = p / M$ . В системе отсчёта центра масс полный импульс равен нулю: машины сближаются и расходятся с равными и противоположными импульсами. Распад — процесс, обратный столкновению: если покоящееся тело разделилось на две части, осколки получают равные и противоположные импульсы, $p = \sqrt{2 μ ε}$ ( $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ , $ε$ — выделившаяся энергия). Отдача ружья, прыжок с лодки, ракета («Реактивное движение и ракета») — сохранение импульса в природе и технике. В теоретической механике сохранение импульса — следствие однородности пространства (теорема Нётер). Законы сохранения позволяют вычислить результат, не зная сил, — поэтому они главный инструмент от безопасности автомобилей до физики частиц.

Лаборатория: столкновение шаров

Шар на нити, отпущенный с угла $α$ , в нижней точке приобретает скорость $v = 2 \sqrt{g l} \sin \frac{α}{2}$ (сохранение энергии: $v^{2} = 2 g l (1 - \cos α)$ ). По наибольшим углам отклонения после удара $α_{1}^{'}$ , $α_{2}^{'}$ по той же формуле находят $v_{1}^{'}$ и $v_{2}^{'}$ , затем вычисляют импульс, энергию и коэффициент восстановления $e = (v_{2}^{'} - v_{1}^{'}) / v_{1}$ . Удар очень короткий, нити не успевают на него повлиять — поэтому именно в момент удара горизонтальный импульс сохраняется. У стальных шаров $e$ близок к единице (примерно 0,9 и больше), а шары, покрытые пластилином, слипаются и движутся вместе ( $e = 0$ ).

Упрощения модели

Машина замедляется равномерно на длине зоны смятия (реальный импульс удара неравномерен). Манекен — одномерное тело массой 75 кг, измеряется ускорение его груди; ремень — пружина с зазором 8 см, в современной системе — ремень с преднатяжителем и ограничителем усилия и подушка, наполняющаяся за 30 мс; руль в 45 см перед грудью. При столкновении двух машин смятие — пружина с остаточной деформацией; за короткое время столкновения трение о дорогу не учитывается, центр масс машин принят посередине между ними. Шары — маятники с нерастяжимой нитью, удар мгновенный, сопротивления воздуха нет. Время замедлено в 40 раз в испытании о стену и в 10 раз в испытании двух машин, шары — в реальном времени.

Знаете ли вы?

Трёхточечный ремень безопасности изобрёл в 1959 году инженер Volvo Нильс Болин. Volvo открыла этот патент для свободного использования другими автопроизводителями.
Подушка безопасности полностью наполняется примерно за 30 миллисекунд после удара — это в несколько раз быстрее, чем моргнёт глаз.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Закон Паскаля и гидравлика — 7 класс
Упругость и деформация — 9 класс
Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс