Физика · Механика · 10 класс

Вязкость и течение

Почему в меде шарик тонет медленно, а вода в трубе вдруг начинает «реветь»?

Ситуация

Зимой мёд густеет и едва стекает с ложки; если его подогреть — течёт, как вода. Шарик в мёде тонет медленно и ровно, а в воде падает мгновенно. Приоткройте кран — вода течёт тонкой гладкой прозрачной струёй; откройте сильнее — и она вдруг превращается в шумный, вихревой поток. За опорой моста речная вода образует водовороты, а закрученный мяч сворачивает с пути. Как «вязкость» жидкости влияет на всё это?

Тема

Вязкость, ламинарное и турбулентное течение. Шарик, тонущий в мёде, и течение в водопроводной трубе

Ключевые понятия

Закон Стокса
Течение Пуазейля
Число Рейнольдса

Формулы

F = η S \frac{Δ v}{Δ y}

Закон внутреннего трения Ньютона: $η$ — коэффициент вязкости (Па·с).

F_{c} = 6 π η r v, η = \frac{2 r^{2} (ρ_{s h} - ρ_{s}) g}{9 v}

Закон Стокса ( $R e ≪ 1$ ) и формула для измерения вязкости.

Q = \frac{π R^{4} Δ p}{8 η l}

Формула Пуазейля: расход при ламинарном течении в трубе.

R e = \frac{ρ v d}{η}

Число Рейнольдса: отношение сил инерции и вязкости. В трубе при $R e ≳ 2300$ течение становится турбулентным.

ρ (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}) = - \nabla p + η Δ \vec{v} + ρ \vec{g}

Уравнение Навье–Стокса (несжимаемая вязкая жидкость, $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ ).

Теория

Вязкость — внутреннее трение

Слои жидкости, движущиеся с разными скоростями, увлекают друг друга: быстрый слой тянет медленный вперёд, а медленный тормозит его. В результате между слоями переносится импульс и возникает касательная сила: $F = η S Δ v / Δ y$ . При течении между пластинами (течение Куэтта) скорость меняется линейно, а сила, нужная для протягивания пластины, прямо даёт $η$ . Вязкость воды ≈ 1 мПа·с, глицерина при 20 °C ≈ 1,4 Па·с, мёда — ещё в несколько раз больше. При нагревании жидкостей $η$ резко уменьшается (у газов наоборот — растёт).

Закон Стокса и измерение вязкости

Когда маленький шарик движется медленно ( $R e ≪ 1$ ), сила сопротивления пропорциональна скорости: $F_{c} = 6 π η r v$ . При падении шарика сила тяжести, сила Архимеда и сопротивление быстро уравновешиваются — он падает с постоянной скоростью: $v = 2 r^{2} (ρ_{s h} - ρ_{s}) g / 9 η$ . В лаборатории измеряют время $t$ прохождения расстояния $l$ между кольцами, находят $v = l / t$ и вычисляют $η$ . Условия: $R e$ мало, шарик далеко от стенок сосуда, к первому кольцу скорость уже установилась. При больших скоростях сопротивление растёт быстрее (≈ $v^{2}$ , эксперимент «Свободное падение и воздух»). Сухое трение (покоя, скольжения, качения) от скорости почти не зависит — в эксперименте «Торможение автомобиля».

Течение Пуазейля

При ламинарном течении в трубе слой у стенки неподвижен, на оси скорость наибольшая и вдвое превышает среднюю — профиль имеет форму параболы. Расход $Q = π R^{4} Δ p / 8 η l$ зависит от радиуса в четвёртой степени: если радиус уменьшить вдвое, расход упадёт в 16 раз. Похожие точные решения: между двумя пластинами (линейный или параболический профиль) и в тонком слое, стекающем по наклону ( $u = ρ g \sin α (h y - y^{2} / 2) / η$ , на поверхности скорость наибольшая).

Ламинарное и турбулентное течение

При ламинарном течении слои не перемешиваются — краска вытягивается тонкой нитью. Когда скорость растёт и число Рейнольдса $R e = ρ v d / η$ превышает критическое значение (в трубе ≈ 2300), течение становится турбулентным: беспорядочные вихри перемешивают краску по всему сечению, профиль скорости сглаживается, сопротивление резко растёт ( $Δ p \propto v^{1,75}$ ). $R e$ показывает отношение силы инерции к силе вязкости: мёд очень вязкий, поэтому течение в нём почти всегда ламинарное.

Действие потока на тело, эффект Магнуса

Поток толкает тело силой лобового сопротивления; за телом остаётся вихревой след. За цилиндром начиная с $R e \approx 50$ вихри поочерёдно срываются с двух сторон — вихревая дорожка Кармана; частота срыва $f \approx 0,2 v / d$ (число Струхаля). Именно поэтому гудят провода на ветру. Если цилиндр или мяч вращается, то с той стороны, где поверхность движется по потоку, течение быстрее, а давление ниже — возникает подъёмная сила, поперечная потоку (эффект Магнуса, в идеальной жидкости $F = ρ v Γ$ ). Подъёмная сила крыла и уравнение Бернулли — в эксперименте «Крыло самолёта».

Уравнение Навье–Стокса и поток импульса

Движение вязкой жидкости описывается уравнением Навье–Стокса. Это закон сохранения импульса: $\partial (ρ v_{i}) / \partial t = - \partial Π_{i k} / \partial x_{k}$ , где тензор плотности потока импульса $Π_{i k} = p δ_{i k} + ρ v_{i} v_{k} - σ_{i k}^{'}$ , $σ_{i k}^{'} = η (\partial v_{i} / \partial x_{k} + \partial v_{k} / \partial x_{i})$ — вязкие напряжения. Течения Куэтта, Пуазейля и по наклону — его точные решения. Течение в водяном туннеле рассчитано решёточным методом Больцмана: распределение частиц перемещается от ячейки к ячейке и в среднем даёт уравнение Навье–Стокса (двумерная модель). Поверхностное натяжение и капиллярность — в эксперименте «Поверхностное натяжение и капиллярность».

Знаете ли вы?

В 1883 году Осборн Рейнольдс пустил краску в воду в стеклянной трубке и показал ламинарное и турбулентное течение; безразмерное число, определяющее режим течения, позже получило его имя.
Жан Пуазейль был врачом и, чтобы понять течение крови в сосудах, ставил опыты с тонкими стеклянными трубками. По его закону, если радиус трубки уменьшится всего на 10 %, расход упадёт примерно на 34 % ( ${0,9}^{4} \approx 0,66$ ).

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс
Механика Лагранжа и хаос — 2 курс
Гамильтонова механика — 2 курс