Физика · Механика · 10 класс

Реактивное движение и ракета

От чего отталкивается взлетающая ракета и почему она состоит из нескольких ступеней?

Ситуация

Ракета, выводящая космонавта на орбиту, в пустоте ни на что не опирается — вокруг нет ни воздуха, ни земли. От чего же она отталкивается и разгоняется? Если отпустить надутый шарик, он выбросит воздух назад и полетит вперёд. Водяная ракета во дворе школы, тележка, бросающая шарики на рельсах, и космическая ракета — всё подчиняется одному закону. Почему ракета состоит из нескольких ступеней и почему для вывода на орбиту одной тонны груза нужны десятки тонн топлива?

Тема

Реактивное движение. От водяной ракеты до космической: формула Циолковского

Ключевые понятия

Сохранение импульса
Формула Циолковского
Многоступенчатая ракета

Формулы

m_{1} {\vec{v}}_{1} + m_{2} {\vec{v}}_{2} = const, Δ v = \frac{m u}{M}

Закон сохранения импульса: если выбросить часть массой $m$ со скоростью $u$ , тело массой $M$ приобретёт скорость $Δ v$ .

m \frac{d v}{d t} = u | \frac{d m}{d t} | + F_{внеш}

Уравнение Мещерского (тело переменной массы). Реактивная сила $F_{r} = u | d m / d t |$ .

v = u \ln \frac{m_{0}}{m}

Формула Циолковского: без внешних сил скорость ракеты зависит от скорости газов $u$ и отношения масс.

v = u (\ln \frac{m_{0,1}}{m_{k, 1}} + \ln \frac{m_{0,2}}{m_{k, 2}} + \dots)

Многоступенчатая ракета: отношения масс каждой ступени складываются (пустая ступень сбрасывается).

v = u \ln \frac{m_{0}}{m} - g t, v_{1} = \sqrt{g R} \approx 7,9 km/s

Гравитационные потери при вертикальном подъёме и первая космическая скорость.

Теория

Реактивное движение

Ракета выбрасывает назад с большой скоростью газ, образующийся при сгорании топлива. По закону сохранения импульса, сколько импульса получает газ назад, столько же получает ракета вперёд. Поэтому ракете воздух не нужен — она «отталкивается» не от воздуха, а от вещества, которое сама выбрасывает. По этому же принципу работают надутый шарик, кальмар, реактивный самолётный двигатель; отдача (удар назад) ружья при выстреле — тоже реактивное движение.

Тележка, бросающая шарики

Если тележка (масса с шариками $M_{b}$ ) выбрасывает назад один шарик массой $m$ со скоростью $u$ относительно себя: $M_{b} v = (M_{b} - m) v^{'} + m (v^{'} - u)$ , значит $Δ v = m u / M_{b}$ . Если выбросить все сразу, $Δ v = N m u / (M + N m)$ . Если по одному, получится больше: следующие шарики толкают более лёгкую тележку. Когда шарики становятся всё меньше, а их число неограниченно растёт, сумма стремится к $u \ln ((M + N m) / M)$ — это формула Циолковского. Суммарный импульс тележки и шариков всё время остаётся равным нулю.

Уравнение Мещерского

За время $d t$ ракета выбрасывает газ массой $| d m |$ со скоростью $u$ . Из закона сохранения импульса $m d v = u | d m | + F_{внеш} d t$ , то есть $m d v / d t = u | d m / d t | + F_{внеш}$ . Первое слагаемое — реактивная сила (сила тяги): если каждую секунду выбрасывается 1400 кг топлива со скоростью 3 км/с, $F_{r} \approx 4,2$ МН. По мере уменьшения массы одна и та же сила тяги разгоняет ракету всё быстрее — график $v (t)$ загибается вверх.

Формула Циолковского

Без внешних сил $v = u \ln (m_{0} / m)$ : скорость зависит только от скорости газов $u$ и отношения масс, а не от того, как быстро сгорает топливо. Логарифм растёт медленно: чтобы при $u = 3$ км/с получить 7,9 км/с, нужно $m_{0} / m = e^{7,9 / 3} \approx 14$ , то есть ≈ 93 % массы ракеты должно быть топливом. Но сами баки и двигатели составляют 5–10 % массы ступени — а ещё есть полезный груз. Поэтому одноступенчатая ракета не может достичь первой космической скорости.

Многоступенчатая ракета

Ступень, в которой кончилось топливо (пустые баки, двигатели), сбрасывается, и следующая ступень работает как новая, лёгкая ракета и снова получает большое отношение масс. Скорости складываются. Эту идею Циолковский назвал «ракетными поездами». При старте с Земли притяжение «съедает» $g \cdot 1$ с ≈ 9,8 м/с скорости каждую секунду, да и воздух сопротивляется; поэтому ракеты вскоре поворачивают к горизонту, а для выхода на низкую орбиту суммарно тратится ≈ 9,3–9,5 км/с Δv. В модели: $\dot{m}$ постоянна на каждой ступени, при старте с Земли $g$ постоянно, сопротивления воздуха нет.

Водяная ракета

Сжатый воздух в бутылке выбрасывает воду из горлышка со скоростью $v_{e} = \sqrt{2 Δ p / ρ}$ (при 4 бар ≈ 28 м/с), реактивная сила $F = ρ S v_{e}^{2} = 2 S Δ p$ достигает нескольких сотен ньютонов. По мере расширения воздуха давление падает. Если воды слишком мало — мала выбрасываемая масса; если слишком много — мало воздуха, а ракета тяжёлая. Выше всего поднимается ракета, примерно на треть заполненная водой. Когда вода кончилась, оставшийся сжатый воздух даёт ещё короткий толчок. Модель: давление столба воды и масса воздуха не учитываются, воздух расширяется адиабатически, $C = 0,4$ .

Знаете ли вы?

Константин Циолковский опубликовал формулу скорости ракеты в 1903 году в статье «Исследование мировых пространств реактивными приборами».
12 апреля 1961 года Юрий Гагарин на космическом корабле «Восток» стартовал с космодрома Байконур и один раз облетел Землю — полёт длился около 108 минут.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс
Механика Лагранжа и хаос — 2 курс
Гамильтонова механика — 2 курс