Fizika · Mexanika · 1-kurs

Giroskop va pretsessiya

Aylanayotgan pildiroq nega yiqilmaydi, balki o‘qini sekin aylantira boshlaydi?

Vaziyat

Bayramda ukangiz yog‘och pildiroqni stol ustida aylantirdi. Pildiroq qiyshayib qoldi, lekin yiqilmadi — uning o‘qi sekin aylana chiza boshladi. Fizika xonasida o‘qituvchi aylanayotgan velosiped g‘ildiragini o‘qining faqat bir uchidan arqonga osib qo‘ydi: g‘ildirak tushib ketmadi, arqon atrofida aylana boshladi. Kemadagi girokompas ham, kosmik stansiyada ag‘darilib turadigan gayka ham shu qonunlarga bo‘ysunadi. Nega aylanayotgan jism og‘irlik kuchi tomonga emas, unga tik yo‘nalishda «qochadi»?

Mavzu

Giroskop va pretsessiya. Pildiroq, velosiped g‘ildiragi va samolyot giroskopi

Asosiy tushunchalar

Impuls momenti va pretsessiya
Eyler tenglamalari
O‘rta o‘q beqarorligi

Formulalar

\vec{τ} = \frac{d \vec{L}}{d t}, \vec{L} = I \vec{ω}

Kuch momenti impuls momentini o‘zgartiradi. Tashqi moment bo‘lmasa, $\vec{L}$ saqlanadi.

Ω = \frac{m g r}{I_{3} ω_{3}}, T_{p} = \frac{2 π}{Ω}

Tez aylanuvchi giroskop pretsessiyasining burchak tezligi va davri.

I_{1} {\dot{ω}}_{1} + (I_{3} - I_{2}) ω_{2} ω_{3} = M_{1}

Eyler tenglamalari (tananing bosh o‘qlarida); qolgan ikkitasi indekslarni 1→2→3→1 aylantirib olinadi.

λ = ω \sqrt{\frac{(I_{2} - I_{1}) (I_{3} - I_{2})}{I_{1} I_{3}}}

O‘rta o‘q atrofida aylanishda kichik og‘ish $e^{λ t}$ kabi o‘sadi ( $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ ) — Janibekov effekti.

T = 2 π \sqrt{\frac{H}{K Ω_{\oplus︎} \cos φ}}

Mayatnikli girokompasning so‘nmas tebranish davri: $H$ — rotorning impuls momenti, $K$ — mayatnik momenti koeffitsienti, $φ$ — kenglik.

Nazariya

Impuls momenti va giroskop

Aylanayotgan jismning impuls momenti $\vec{L}$ — vektor; simmetrik jism o‘z o‘qi atrofida aylansa, u o‘q bo‘ylab yo‘nalgan va $L = I_{3} ω_{3}$ . Kuch momenti $\vec{τ}$ uni o‘zgartiradi: $d \vec{L} = \vec{τ} d t$ . Og‘irlik kuchining momenti $\vec{L}$ ga tik bo‘lgani uchun $L$ ning kattaligi o‘zgarmaydi, faqat yo‘nalishi buriladi — o‘q yiqilmaydi, gorizontal aylanadi. Bu pretsessiya. Tashqi moment bo‘lmasa, $\vec{L}$ saqlanadi: erkin giroskop o‘qi fazoda o‘z yo‘nalishini saqlaydi — samolyot va kosmik apparatlarning yo‘nalish asboblari shunga asoslangan. ( $L = I ω$ ning o‘zi «Qattiq jism dinamikasi» tajribasida.)

Pretsessiya va nutatsiya (Lagranj holi)

Uchi qo‘zg‘almas og‘ir simmetrik pildiroq uchun tez aylanishda $Ω \approx m g r / (I_{3} ω_{3})$ . Aniq turg‘un pretsessiya $I_{1} \cos θ Ω^{2} - I_{3} ω_{3} Ω + m g r = 0$ tenglamaning kichik ildizi ( $I_{1}$ — uchiga nisbatan ko‘ndalang inersiya momenti). Pildiroq pretsessiyasiz qo‘yib yuborilsa, o‘q biroz «sho‘ng‘iydi» va tebranadi — nutatsiya: o‘q uchining izi uchli chiziq chizadi; teskari turtilsa — halqalar, oldinga — to‘lqinlar. Tik turgan («uxlayotgan») pildiroq $I_{3}^{2} ω_{3}^{2} > 4 I_{1} m g r$ bo‘lsagina barqaror — modelimizda ≈ 12 ayl/s. Saqlanadigan kattaliklar: energiya, $L_{y}$ (vertikal tashkil etuvchi) va $L_{3}$ .

Eyler burchaklari va Eyler tenglamalari

Qattiq jism holati uchta Eyler burchagi bilan beriladi: $φ$ — pretsessiya (qo‘zg‘almas $x$ o‘qdan tugunlar chizig‘igacha), $θ$ — nutatsiya (vertikal va simmetriya o‘qi orasida), $ψ$ — xususiy aylanish (tugunlar chizig‘idan jismdagi oq nuqtagacha). Harakat Eyler tenglamalari bilan ifodalanadi; ular tana bilan birga aylanuvchi bosh o‘qlarda yoziladi. Simulyatsiyada tana o‘qlaridagi $\vec{L}$ va orientatsiya kvaternioni RK4 usulida integrallanadi, kvaternion har qadamda normallanadi. Tekshiruv: pildiroqda $E$ va $L_{y}$ ning nisbiy xatosi $10^{- 7}$ dan kichik.

Inersiya tenzori va erkin jism: Eyler holi, o‘rta o‘q

Qattiq jismning aylanishga «qarshiligi» bitta son emas, inersiya tenzori $I_{i j} = \sum m (r^{2} δ_{i j} - x_{i} x_{j})$ — simmetrik 3×3 jadval. U burchak tezlikni impuls momentiga bog‘laydi: $L_{i} = I_{i j} ω_{j}$ , kinetik energiya esa $T = \frac{1}{2} I_{i j} ω_{i} ω_{j}$ ; umuman $\vec{L}$ va $\vec{ω}$ parallel emas. Har qanday jismda o‘zaro tik uchta bosh inersiya o‘qi bor: ularda tenzor diagonal ( $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ — «Erkin aylanish» bo‘limidagi qiymatlar), $\vec{L} = (I_{1} ω_{1}, I_{2} ω_{2}, I_{3} ω_{3})$ va $T = \frac{1}{2} (I_{1} ω_{1}^{2} + I_{2} ω_{2}^{2} + I_{3} ω_{3}^{2})$ . Simmetriya o‘qi yoki simmetriya tekisligiga tik o‘q doim bosh o‘q: T-dastada bular massa markazidan dastalarga parallel o‘tgan ikki o‘q va dasta tekisligiga normal. Moment bo‘lmasa, $\vec{L}$ fazoda qo‘zg‘almas, energiya ham saqlanadi. Tana o‘qlarida esa $\vec{L}$ uchi sfera ( $| L |$ = const) bilan energiya ellipsoidi kesishgan chiziq — polodiya bo‘ylab yuradi (sahnadagi kichik sfera). Eng kichik va eng katta $I$ o‘qlari atrofida bu chiziqlar kichik halqalar — aylanish barqaror. O‘rta o‘qdan esa separatrisa o‘tadi: kichik og‘ish tez o‘sadi va jism vaqti-vaqti bilan ag‘dariladi (Janibekov effekti, «tennis raketkasi teoremasi»). Simmetrik disk ( $I_{1} = I_{2}$ ) uchun simmetriya o‘qi $\vec{L}$ atrofida $L / I_{1}$ tezlik bilan aylanadi.

Girokompas va giroskopik kuchlar

Yer $Ω_{\oplus︎} = 7,29 \cdot 10^{- 5}$ rad/s tezlikda aylanadi; $φ$ kenglikda uning gorizontal tashkil etuvchisi $Ω_{\oplus︎} \cos φ$ shimolga yo‘nalgan. Girokompas o‘qi meridiandan og‘sa, Yer aylanishi uni qiyshaytiradi, mayatnik og‘irligi esa o‘qni meridian tomon pretsessiya qildiradi — o‘q meridian atrofida tebranadi va so‘nish tufayli haqiqiy shimolga o‘rnashadi. Davr $2 π \sqrt{R / g} \approx 84,4$ min (Shuler davri) ga sozlansa, kema tezlanishlari ko‘rsatkichni buzmaydi. Qutbga yaqinlashganda $\cos φ \to 0$ — kompas ishlamay qoladi. Aylanayotgan rotor o‘qini $Ω$ tezlik bilan burish uchun podshipniklar $M = I ω Ω$ moment berishi kerak — giroskopik kuchlar (turbinalar, vintlar). Velosiped g‘ildiragining giroskopik effekti muvozanatga yordam beradi, lekin shart emas: 2011-yilda Kooijman va hamkasblari teskari aylanuvchi qo‘shimcha g‘ildirakli (umumiy $L \approx 0$ ) velosiped ham o‘zini o‘zi tutib turishini ko‘rsatdi.

Laboratoriya ishi va model soddalashtirishlari

G‘ildirak bilan laboratoriya: $r$ va chastotani tanlang, pretsessiya davrini $N$ to‘liq aylanishdan $T_{p} = t / N$ deb o‘lchang, $Ω = 2 π / T_{p}$ ni hisoblang va «Jadvalga qo‘shish» ni bosing. Bir necha chastotada takrorlang: $Ω (1 / ω)$ grafigi koordinata boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq, qiyaligi $m g r / I_{3}$ — undan $I_{3}$ topiladi. Soddalashtirishlar: arqon ideal qo‘zg‘almas tayanch, ishqalanish va havo qarshiligi yo‘q (aylanish so‘nmaydi), pildiroq uchi sirpanmaydi; girokompasda kema to‘xtab turibdi, og‘ish kichik, vaqt 600 marta tezlashtirilgan; T-dasta — ikkita yaxlit po‘lat silindr.

Bilasizmi?

1985-yilda «Salyut-7» stansiyasini ta’mirlash ekspeditsiyasi paytida kosmonavt Vladimir Janibekov buralib chiqqan qanotli gayka bir necha soniyada bir marta 180° ga ag‘darilib turganini kuzatgan. Hodisa uning nomi bilan ataladi, garchi u qattiq jismning Eyler tenglamalaridan kelib chiqsa ham.
Yer ham ulkan pildiroq: Quyosh va Oyning Yer ekvatoridagi bo‘rtiqqa ta’sir qiluvchi kuch momenti tufayli Yer o‘qi taxminan 26 000 yilda bir marta pretsessiya qiladi. Shuning uchun Qutb yulduzi abadiy «qutb» bo‘lib qolmaydi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Noinersial sanoq tizimlari — 10-sinf
Qiya tekislik va Atvud mashinasi — 10-sinf
Erkin tushish va havo — 10-sinf
Reaktiv harakat va raketa — 10-sinf
Qovushqoqlik va oqim — 10-sinf
Lagranj mexanikasi va xaos — 2-kurs
Gamilton mexanikasi — 2-kurs