Fizika · Mexanika · 10-sinf

Qattiq jism dinamikasi

Figurachi qo‘lini yig‘sa, nega aylanishi bir necha marta tezlashadi?

Vaziyat

Muz saroyida figurachi qiz qo‘llari va bir oyog‘ini keng yoyib, sekin aylana boshlaydi. Keyin ularni tanasiga yig‘ishi bilan aylanish shunchalik tezlashadiki, yuzini ajratib bo‘lmay qoladi. Uni hech kim itarmadi, muz esa deyarli ishqalanishsiz. Aylanish tezligi qayerdan paydo bo‘ldi — va qo‘shimcha energiya qayerdan keldi?

Mavzu

Qattiq jism dinamikasi. Figurachi aylanishi: impuls momentining saqlanishi

Asosiy tushunchalar

Impuls momentining saqlanishi
Inersiya momenti
Dumalash

Formulalar

L = I ω = const

Tashqi kuch momenti bo‘lmasa, impuls momenti saqlanadi.

I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}, I = I_{c} + m d^{2}

Inersiya momenti massa o‘qdan qanchalik uzoqligiga bog‘liq. Shteyner teoremasi: o‘q massa markazidan $d$ ga surilgan.

E_{k} = \frac{I ω^{2}}{2} = \frac{L^{2}}{2 I}

$L$ o‘zgarmasa, $I$ kamayganda kinetik energiya ortadi.

M = I ε, \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{M}

Aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasi va momentlar tenglamasi.

a = \frac{g \sin θ}{1 + I / (m r^{2})}

Qiya tekislikdan sirpanmasdan dumalash tezlanishi: faqat shaklga bog‘liq. Maksvell mayatnigida $θ = 90 °$ , $r$ — o‘q radiusi.

Nazariya

Impuls momenti saqlanishi

Figurachiga muz va havo deyarli kuch momenti bermaydi, shuning uchun impuls momenti $L = I ω$ o‘zgarmaydi. Qo‘llar va oyoq o‘qqa yaqinlashganda inersiya momenti $I$ kamayadi — $ω$ shuncha marta ortadi. Sahnada $L$ strelkasining uzunligi o‘zgarmaydi, chastota esa 5 martagacha oshadi. Nazariy mexanikada bu qonun fazoning izotropligi natijasi: fazoda barcha yo‘nalishlar teng huquqli, shuning uchun yopiq sistemaning $\vec{L}$ i saqlanadi (Nyoter teoremasi, batafsil — «Gamilton mexanikasi»). Giroskop ham shu qonunga tayanadi — «Giroskop va pretsessiya».

Energiya qayerdan keladi?

$E_{k} = L^{2} / (2 I)$ : $I$ kamaysa, kinetik energiya ortadi. Bu energiyani figurachining muskullari beradi: aylanayotgan qo‘lni o‘qqa tortish uchun markazga intilma kuch kerak va u qo‘l yo‘li bo‘ylab ish bajaradi: $A_{m} = \frac{L^{2}}{2} (\frac{1}{I_{2}} - \frac{1}{I_{1}})$ . Qo‘llarni yoyganda energiya yana kamayadi — muskullar qo‘lni ushlab, tormozlaydi.

Ilgarilanma, aylanma va yassi harakat

Qattiq jismning har qanday harakati ilgarilanma (hamma nuqtalar bir xil siljiydi) va aylanma harakatlardan tuziladi. Jism harakati massa (inersiya) markazining tezligi ${\vec{v}}_{c}$ va burchak tezlik $\vec{ω}$ bilan tavsiflanadi: impuls $\vec{p} = m {\vec{v}}_{c}$ , kinetik energiya $\frac{m v_{c}^{2}}{2} + \frac{I_{c} ω^{2}}{2}$ . Dumalash — yassi harakat: markaz $v_{c}$ bilan siljiydi, jism uning atrofida $ω = v_{c} / r$ bilan aylanadi, tayanch nuqtasi esa tinch turadi. Qiyalikda $m g h = \frac{m v^{2}}{2} (1 + k)$ , $k = I / (m r^{2})$ : quvur ( $k = 1$ ) energiyaning yarmini aylanishga sarflaydi va eng sekin tushadi, natija massa va radiusga bog‘liq emas. Poyga vaqtidan $k = \frac{g \sin θ t^{2}}{2 L} - 1$ va $I = k m r^{2}$ topiladi (natija jadvalida). Erkin aylanish o‘qlari — «Giroskop va pretsessiya»da.

Aylanma harakat dinamikasi

Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanishning asosiy tenglamasi $M = I ε$ : kuch momenti burchak tezlanish beradi, inersiya momenti esa massa kabi «qarshilik» qiladi. Umumiy holda — momentlar tenglamasi $d \vec{L} / d t = \vec{M}$ : figurachida ishqalanishni yoqing, tashqi moment $L$ ni kamaytiradi. Ba’zi jismlar: halqa $m R^{2}$ , disk $\frac{1}{2} m R^{2}$ , shar $\frac{2}{5} m R^{2}$ , o‘rtasidan aylanuvchi sterjen $\frac{1}{12} m L^{2}$ , uchidan — $\frac{1}{3} m L^{2}$ . Shteyner teoremasi $I = I_{c} + m d^{2}$ : Oberbek mayatnigida yuk $R$ ga surilsa, $I$ ga $m_{0} R^{2}$ qo‘shiladi. Aylantirishda bajarilgan ish $A = M φ$ aylanma kinetik energiyaga aylanadi.

Laboratoriya: I va μ ni o‘lchash

Oberbek mayatnigi va g‘ildirak (yuksiz va yukli): yuk $h$ ni $t$ da tushadi, $I = m r^{2} (\frac{g t^{2}}{2 h} - 1)$ — bu $M = I ε$ ning o‘zi. Maksvell mayatnigi: $a = g / (1 + I / m r^{2})$ , energiyaning 95 % dan ko‘prog‘i aylanishga ketadi. Trifilyar osma (burilma tebranishlar): $I = \frac{M g R r}{4 π^{2} l} T^{2}$ ; po‘lat simda $T = 2 π \sqrt{I / D}$ . Osma mayatnik: qiya plastinkada dumalayotgan sharcha amplitudasi har tebranishda bir xil kamayadi, $μ = tg β \frac{α_{0} - α_{n}}{4 n}$ . Dumalash ishqalanish kuchi $F = μ N = f N / R$ sirpanishdagidan ancha kichik: po‘lat g‘ildirak relsda sirpanishdagiga qaraganda taxminan 100 marta kichik ishqalanishga uchraydi — podshipniklar shunga asoslangan.

Model soddalashtirishlari

Figurachi — 50 kg, bo‘yi 1,62 m; tana 14 segmentdan iborat, segment massalari Dempster jadvalidan (har bir qo‘l 5 %, har bir oyoq 16 %), har bir segment bir jinsli silindr. «Ishqalanish» o‘chiq bo‘lsa, muz va havo qarshiligi yo‘q. Poygada jismlar sirpanmasdan dumalaydi ( $μ \geq k tg θ / (1 + k)$ ), havo va dumalash qarshiligi hisobga olinmaydi. Laboratoriyada ip cho‘zilmaydi va massasiz; Oberbek podshipnigidagi ishqalanish — o‘zgarmas moment; Maksvell diski pastda ip silkinganda tezligining 5 % ini yo‘qotadi; burilma tebranishlar kichik burchakli; dumalash ishqalanishi koeffitsiyentlari ( $f$ = 0,007 va 0,03 mm) — taxminiy jadval qiymatlari. Tinchlikdagi, sirpanish va qovushqoq ishqalanish — «Avtomobil tormozlanishi» va «Qovushqoqlik va oqim» tajribalarida.

Bilasizmi?

Pulsarlar — o‘ta zich neytron yulduzlari. Yulduz o‘zagi bir necha o‘n kilometrgacha siqilganda impuls momenti saqlangani uchun u juda tez aylana boshlaydi: ma’lum eng tez pulsar PSR J1748−2446ad sekundiga taxminan 716 marta aylanadi.
Suvga sakrovchilar havoda tizzalarini quchoqlab «guruhlanadi»: inersiya momenti bir necha marta kamayadi va ular bir sakrashda ko‘proq salto bajara oladi. Suvga kirishdan oldin tanani yozib, aylanishni sekinlashtiradi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Basketbol: jarima to‘pi — 10-sinf
Impuls va uning saqlanishi — 10-sinf
Qiya burilish — 10-sinf
Og‘irlik markazi va muvozanat — 10-sinf
Samolyot qanoti — 10-sinf
Noinersial sanoq tizimlari — 10-sinf
Qiya tekislik va Atvud mashinasi — 10-sinf
Erkin tushish va havo — 10-sinf
Reaktiv harakat va raketa — 10-sinf
Qovushqoqlik va oqim — 10-sinf