Fizika · Mexanika · 10-sinf

Og‘irlik markazi va muvozanat

Kitoblarni stol chetidan qancha chiqarib terish mumkin, quti qachon ag‘dariladi?

Vaziyat

Kutubxonada bir xil kitoblarni stol chetiga zinapoya qilib terib ko‘ring: eng yuqoridagi kitob stoldan butunlay chiqib, havoda «osilib» turishi mumkin. Piza minorasi taxminan 4° ga og‘gan bo‘lsa ham asrlar davomida turibdi. Qiya taxtaga qo‘yilgan baland quti esa ba’zan sirpanmasdan ag‘darilib ketadi. Jism qachon muvozanatda turadi, qachon yiqiladi — va buni oldindan hisoblab bo‘ladimi?

Mavzu

Statika va muvozanat. Minora va ko‘prik: og‘irlik markazi qayerda

Asosiy tushunchalar

Og‘irlik markazi
Muvozanat sharti
Garmonik qator

Formulalar

x_{c} = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}

Og‘irlik markazi — og‘irlik kuchlarining teng ta’sir etuvchisi qo‘yilgan nuqta.

x_{c h a p} \leq x_{c} \leq x_{o ‘ n g}

Turish sharti: har bir qavatdan yuqoridagi qismning og‘irlik markazi tayanch yuzasi ustida bo‘lishi kerak.

d_{k} = \frac{L}{2 k}, s_{N} = \frac{L}{2} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{N})

Kitoblar: yuqoridan $k$ -kitobning siljishi va eng katta osilib turish (garmonik qator).

tg θ > \frac{b}{h} (ag‘dariladi), tg θ > μ (sirpanadi)

Qiya taxtadagi quti ( $b$ — asos eni, $h$ — balandlik): qaysi shart oldin bajarilsa, o‘sha sodir bo‘ladi.

\sum {\vec{F}}_{i} = 0, \sum M_{i} = 0

Qattiq jism muvozanati shartlari. Qo‘zg‘almas o‘qli jism uchun ikkinchisi yetarli — o‘qning reaksiyasi kuchlarni muvozanatlaydi.

Nazariya

Og‘irlik markazi

Jismning har bir bo‘lagiga og‘irlik kuchi ta’sir qiladi — bu parallel kuchlar sistemasi. Ularning teng ta’sir etuvchisi butun og‘irlikka teng va og‘irlik markazi orqali o‘tadi (bir jinsli maydonda u massa (inersiya) markazi bilan bir nuqta). Og‘irlik markazidan tushirilgan vertikal chiziq tayanch yuzasi ichida bo‘lsa, tayanch reaksiyasi momentni muvozanatlaydi. Chiziq tayanchdan chiqsa, og‘irlik kuchi jismni tayanch cheti atrofida aylantiruvchi moment hosil qiladi. Og‘irlik markazini topish usuli: jismni ikki nuqtadan navbat bilan osib, shovun chiziqlarini chizish — ular og‘irlik markazida kesishadi («Disk» rejimi).

Kitoblar va garmonik qator

Eng yuqoridagi kitob pastdagisidan $L / 2$ ga, keyingi ikkitasi birgalikda uchinchisidan $L / 4$ ga, uchtasi to‘rtinchisidan $L / 6$ ga chiqishi mumkin — har safar yuqoridagi barcha kitoblarning og‘irlik markazi aynan pastdagi kitob chetida bo‘ladi. Jami: $\frac{L}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots)$ . 4 ta kitob bilan bu $\approx 1,04 L$ — yuqoridagi kitob stoldan butunlay chiqadi! Garmonik qator chegarasiz o‘sadi, lekin juda sekin.

Qiya taxta: ag‘darilish yoki sirpanish

Qiyalik oshgan sari og‘irlik markazidan tushgan vertikal quti asosining pastki chetiga yaqinlashadi. $tg θ = b / h$ da u chetga yetadi — quti ag‘dariladi. Sirpanish esa $tg θ = μ$ da boshlanadi. Qaysi shart oldin bajarilsa, o‘sha sodir bo‘ladi: baland va tor quti ag‘dariladi, past va keng quti sirpanadi. Grafikdagi $tg θ$ egri chizig‘i qaysi chiziqni oldin kesib o‘tishiga qarang.

Statika: kuchlar sistemasi va muvozanat shartlari

Statika jismga qo‘yilgan kuchlar qachon bir-birini muvozanatlashini, noma’lum reaksiya kuchlarini va og‘irlik markazini topadi. Kuch kattaligi, yo‘nalishi va qo‘yilish nuqtasi (ta’sir chizig‘i) bilan beriladi; bir nechta kuch — kuchlar sistemasi, uni bitta teng ta’sir etuvchi almashtirishi mumkin. Bir tomonga yo‘nalgan parallel kuchlarning teng ta’sir etuvchisi $F_{1} + F_{2}$ ga teng va ular orasidagi masofani kuchlarga teskari proporsional qismlarga bo‘ladi ( $F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$ ); antiparallel kuchlarniki $| F_{1} - F_{2} |$ ga teng va kattasi tomonida, tashqarida yotadi; teng antiparallel kuchlar — juft kuch, uning faqat momenti bor («Oddiy mexanizmlar: richag, blok»). Aylanish o‘qi bo‘lmagan jism muvozanatda bo‘lishi uchun $\sum \vec{F} = 0$ va istalgan nuqtaga nisbatan $\sum M = 0$ ; qo‘zg‘almas o‘qli jism uchun $\sum M = 0$ yetarli. Disk rejimidagi laboratoriya ishi: yuklarni osib, $M_{1} + M_{2} + M_{d i s k} = 0$ ekanini tekshiring. Binolar, ko‘priklar va kranlar shu shartlar bo‘yicha hisoblanadi: har bir tayanch reaksiyasi va har bir to‘sin momenti oldindan topiladi.

Muvozanat turlari va potensial energiya

O‘qli diskda og‘irlik markazi o‘qdan pastda bo‘lsa, kichik turtkidan keyin disk qaytib keladi — turg‘un muvozanat; yuqorida bo‘lsa, ag‘dariladi — noturg‘un; aynan o‘qda bo‘lsa, istalgan holatda turaveradi — befarq muvozanat. Sababi energiyada: $U = M g y_{c}$ . Turg‘un holatda $U$ eng kichik (grafikdagi chuqurlik), noturg‘unda eng katta (cho‘qqi), befarqda o‘zgarmaydi. Ishqalanish bo‘lmasa, jism chuqurlik atrofida tebranadi — mexanik energiya saqlanadi; ishqalanish uni minimumda to‘xtatadi. Tayanchli jism ham shunday: qiya taxtadagi quti burilganda og‘irlik markazi avval ko‘tariladi (turg‘un), $tg θ = b / h$ da vertikal asos chetidan chiqadi — muvozanat noturg‘unga o‘tadi. Turg‘unlikni oshirish yo‘llari: og‘irlik markazini pastga tushirish (kema balasti, kranning qarshi yuki), tayanch yuzasini kengaytirish, osib qo‘yishda o‘qni og‘irlik markazidan yuqoriga joylashtirish.

Model soddalashtirishlari

Jismlar qattiq va bir jinsli, masala tekislikda (2D) yechiladi. Diskdagi yuklar ipda tik osiladi (tebranmaydi), o‘qdagi ishqalanish — tezlikka proporsional. Yiqilish: tayanch chetida aylanish ( $I \ddot{φ} = M g Δ x$ ), ≈ 40° dan keyin erkin uchish, tushganda jism shunchaki yotib qoladi (urilish modellashtirilmagan). Minora qavatlari bir xil silindrlar. Sirpanishdagi ishqalanish $μ_{k} = 0,8 μ$ .

Bilasizmi?

Piza minorasining og‘ishi 1990–2001-yillardagi ta’mirlash ishlarida taxminan 5,5° dan 4° gacha kamaytirilgan: minoraning ko‘tarilgan tomoni ostidan tuproq ehtiyotkorlik bilan olib tashlangan.
Garmonik qator chegarasiz o‘sadi: kitoblar yetarlicha ko‘p bo‘lsa, eng yuqoridagisini stol chetidan istalgancha uzoqqa chiqarish mumkin. Masalan, ikki kitob uzunligiga chiqarish uchun 31 ta kitob kerak.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kema nega cho‘kmaydi? — 10-sinf
Oddiy mexanizmlar: richag, blok — 10-sinf
Basketbol: jarima to‘pi — 10-sinf
Impuls va uning saqlanishi — 10-sinf
Qiya burilish — 10-sinf
Samolyot qanoti — 10-sinf
Qattiq jism dinamikasi — 10-sinf
Noinersial sanoq tizimlari — 10-sinf
Qiya tekislik va Atvud mashinasi — 10-sinf
Erkin tushish va havo — 10-sinf