Физика · Оптика · 2 курс

Нелинейная оптика: зелёный лазер

Как инфракрасный луч, пройдя через кристалл, выходит зелёным?

Ситуация

Вечером на астрономическом кружке учитель показывает звёзды зелёной лазерной указкой — луч в воздухе виден тонкой зелёной линией. Удивительно, но внутри указки нет источника зелёного света: диод даёт невидимое инфракрасное излучение 808 нм, кристалл Nd:YVO₄ превращает его в излучение 1064 нм. Зелёный цвет (532 нм) появляется только в кристалле KTP — частота света удваивается. Как вещество может изменить цвет света?

Тема

Нелинейная оптика. Внутри зелёной лазерной указки: частота инфракрасного излучения удваивается

Ключевые понятия

Вторая гармоника
Фазовый синхронизм
Эффект Керра

Формулы

P = ε_{0} (χ^{(1)} E + χ^{(2)} E^{2} + χ^{(3)} E^{3} + \dots)

Нелинейная поляризация: в сильном поле проницаемость начинает зависеть от поля.

η = \frac{8 π^{2} d_{e f f}^{2} L^{2} I}{ε_{0} c n_{ω}^{2} n_{2 ω} λ^{2}} {sinc}^{2} \frac{Δ k L}{2}, I_{2 ω} = η I \propto I^{2}

Эффективность второй гармоники (при малом преобразовании): интенсивность гармоники пропорциональна квадрату интенсивности основного излучения.

Δ k = \frac{4 π}{λ} (n_{2 ω} - n_{ω}), l_{k} = \frac{π}{Δ k}

Фазовая расстройка и длина когерентности. В BBO при $θ_{f m} \approx 22,8 °$ имеем $Δ k = 0$ .

n = n_{0} + n_{2} I, P_{k r} = \frac{3,77 λ^{2}}{8 π n_{0} n_{2}}

Эффект Керра и критическая мощность самофокусировки.

i \frac{\partial u}{\partial ξ} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial τ^{2}} + | u |^{2} u = 0, N^{2} = \frac{γ P_{0} T_{0}^{2}}{| β_{2} |}

Нелинейное уравнение Шрёдингера: $ξ = z / L_{D}$ , $L_{D} = T_{0}^{2} / | β_{2} |$ . $N = 1$ — фундаментальный солитон.

Теория

Нелинейная поляризация

Электрическое поле света смещает электроны в веществе и создаёт поляризацию $P$ . В слабом свете $P$ пропорциональна полю: $P = ε_{0} χ^{(1)} E$ , проницаемость $ε = 1 + χ^{(1)}$ от поля не зависит. Когда поле лазера ( $10^{7}$ – $10^{9}$ В/м) приближается к внутриатомному (≈ $5 \cdot 10^{11}$ В/м), «пружина» электрона перестаёт быть линейной: к $P$ добавляются $χ^{(2)} E^{2}$ , $χ^{(3)} E^{3}$ , и проницаемость начинает зависеть от поля. Член $E^{2}$ из-за $\cos^{2} ω t = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 ω t)$ излучает волну удвоенной частоты — понаблюдайте за графиком «Поляризация». $χ^{(2)}$ отлична от нуля только в кристаллах без центра симметрии (KTP, BBO, кристаллический кварц); в стекле, воде и воздухе $χ^{(2)} = 0$ .

Вторая гармоника и зелёная указка

На языке фотонов: два фотона 1064 нм объединяются в один фотон 532 нм ( $2 ℏ ω = ℏ \cdot 2 ω$ ). Вероятность такой «встречи» пропорциональна плотности света, поэтому мощность гармоники пропорциональна квадрату интенсивности: если ИК-мощность вырастет в 2 раза, зелёный свет вырастет в 4 раза. В указке диод 808 нм возбуждает кристалл Nd:YVO₄, который генерирует излучение на 1064 нм. Кристалл KTP стоит внутри резонатора — там ИК-мощность во много раз больше, чем на выходе, а поскольку $η \propto I$ , преобразование эффективно. В конце ИК-фильтр задерживает оставшийся свет 1064 и 808 нм; в дешёвых указках его может не быть — невидимый ИК-свет опасен для глаз.

Фазовый синхронизм

Каждый слой кристалла излучает волну гармоники. Из-за дисперсии $n_{2 ω} \neq n_{ω}$ : гармоника и основная волна идут с разной скоростью, $Δ k = (4 π / λ) (n_{2 ω} - n_{ω})$ . Волны, рождённые в разных местах, после длины когерентности $l_{k} = π / Δ k$ начинают гасить друг друга: в BBO вдоль оптической оси $l_{k} \approx 13,5$ мкм — гармоника то растёт, то убывает. В двулучепреломляющем кристалле показатель необыкновенного луча $n_{e} (θ)$ зависит от угла: при $θ_{f m} \approx 22,8 °$ имеем $n_{e} (2 ω, θ) = n_{o} (ω)$ , $Δ k = 0$ , и гармоника растёт по всему кристаллу как $L^{2}$ . Отклонение от угла гасит сигнал по закону ${sinc}^{2} (Δ k L / 2)$ : чем длиннее кристалл, тем точнее нужно его поворачивать.

Эффект Керра и самофокусировка

Член третьего порядка $χ^{(3)}$ делает показатель преломления зависящим от интенсивности: $n = n_{0} + n_{2} I$ . Центр гауссова пучка ярче краёв — в центре $n$ больше, и пучок создаёт для себя собирающую линзу. Если мощность меньше $P_{k r}$ , побеждает дифракция; если больше, пучок сжимается на расстоянии $z_{c} = z_{R} / \sqrt{P / P_{k r} - 1}$ , образует филамент и излучает белый свет (суперконтинуум). Для кварцевого стекла (1064 нм) $P_{k r} \approx 4$ МВт, для воздуха (800 нм) ≈ 3 ГВт — мощные фемтосекундные лазеры создают в воздухе филаменты длиной в метры. Тот же $n_{2} I$ даёт во времени самофазовую модуляцию, а $χ^{(3)}$ порождает и третью гармонику.

Нелинейное уравнение Шрёдингера и солитоны

В оптическом волокне на импульс действуют два эффекта: дисперсия его расширяет, а эффект Керра через фазовую модуляцию перераспределяет частоты. Оба описываются НУШ. При аномальной дисперсии ( $β_{2} < 0$ ) они уравновешиваются, и светлый солитон $u = sech τ$ бежит, не меняя формы ( $N = 1$ ); импульс с $N = 2$ сжимается и расширяется с периодом $\frac{π}{2} L_{D}$ . При нормальной дисперсии внутри непрерывного света живёт тёмный солитон — «провал» в свете. При аномальной дисперсии непрерывный свет неустойчив: малый шум превращается в цепочку импульсов — модуляционная неустойчивость. В пространстве то же уравнение описывает пучок в плоском волноводе (вместо $τ$ — поперечная координата $x$ ): баланс дифракции и самофокусировки даёт светлые и тёмные пространственные солитоны.

О модели

Модель: ГВГ — плоская волна, истощение накачки $η = \tanh^{2} \sqrt{η_{0}}$ ; снос пучка в кристалле (walk-off) и форма импульса не учтены; для BBO — формула Селмейера и $d_{e f f} = 2$ пм/В. Для эффекта Керра принято, что гауссов пучок сохраняет форму (приближение без аберраций). НУШ — без потерь и без дисперсии высших порядков, решается методом расщепления по шагам (split-step Фурье); волокно: $β_{2} = - 20$ пс²/км, $γ = 1,3$ (Вт·км)⁻¹, $T_{0} = 1$ пс. Мощности в указке — приблизительные модельные значения.

Знаете ли вы?

Опыт, с которого началась нелинейная оптика, был проведён в 1961 году — через год после изобретения лазера: группа Питера Франкена пропустила свет рубинового лазера (694 нм) через кристалл кварца и зарегистрировала ультрафиолетовую гармонику 347 нм.
В 1834 году шотландский инженер Джон Скотт Рассел верхом на коне догнал и наблюдал в канале уединённую волну, которая долго бежала, не меняя формы, — это первое описание солитона. В оптическом волокне солитоны наблюдали в 1980 году Молленауэр, Столен и Гордон.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

ИК-, УФ- и рентгеновское излучение — 11 класс
Рассеяние света — 1 курс
Оптика кристаллов — 1 курс
Интерферометры и LIGO — 1 курс
Разрешающая способность — 1 курс