Физика · Оптика · 1 курс

Разрешающая способность

Почему большой телескоп разделяет двойную звезду, а маленький видит одно пятно?

Ситуация

Если вечером, вдали от городских огней, посмотреть на небо, то у Мицара в ручке «ковша» Большой Медведицы можно увидеть тусклый Алькор — по преданию, так в древности проверяли остроту зрения. В небольшой телескоп сам Мицар оказывается двумя звёздами, а ε Лиры в хороший телескоп выглядит как «двойная двойная». Но даже в лучшем приборе звезда — не точка, а маленькое пятнышко в окружении колец. Что определяет это пятнышко и почему большой телескоп разделяет близкие звёзды, а маленький нет?

Тема

Разрешающая способность, дифракция Фраунгофера. Чем больше телескоп, тем точнее: диск Эйри и критерий Рэлея

Ключевые понятия

Диск Эйри
Критерий Рэлея
Зоны Френеля

Формулы

I = I_{0} \frac{\sin^{2} β}{β^{2}} {(\frac{\sin N γ}{N \sin γ})}^{2}, β = \frac{π a \sin θ}{λ}, γ = \frac{π d \sin θ}{λ}

Дифракция Фраунгофера на N щелях: минимумы $a \sin θ = m λ$ , главные максимумы $d \sin θ = m λ$ .

\sin θ_{R} = 1,22 \frac{λ}{D}

Круглое отверстие (объектив, зрачок глаза): первое тёмное кольцо диска Эйри — наименьший угол, который можно разрешить по критерию Рэлея.

d_{m i n} = \frac{0,61 λ}{N A}

Предел разрешения микроскопа; $N A$ — числовая апертура объектива (при масляной иммерсии до ≈ 1,4–1,5).

r_{n} = \sqrt{n λ b}, f = \frac{r_{1}^{2}}{λ}

Радиусы зон Френеля (плоская волна, экран на расстоянии $b$ ) и фокусное расстояние зонной пластинки.

R = \frac{λ}{δ λ} = m N, \frac{d θ}{d λ} = \frac{m}{d \cos θ}

Разрешающая способность и угловая дисперсия дифракционной решётки; $N$ — число освещённых штрихов.

Теория

Принцип Гюйгенса–Френеля и векторная диаграмма

Каждая точка волнового фронта — источник вторичных волн; колебание в точке наблюдения — сумма их с учётом фаз (принцип Гюйгенса–Френеля). Эту сумму удобно рисовать: колебание от каждого малого участка — стрелка, разность хода поворачивает её; стрелки соединяются одна за другой (векторная диаграмма). Длина итоговой стрелки — амплитуда, её квадрат — интенсивность. Если цепочка замыкается в многоугольник, в точке темнота (минимум).

Дифракция Фраунгофера: одна и несколько щелей

Плоская волна, пройдя щель, даёт вдали (или в фокусе линзы) картину Фраунгофера. Для одной щели минимумы $a \sin θ = m λ$ : чем уже щель, тем шире центральный максимум ( $2 λ f / a$ ). Для $N$ щелей волны усиливаются в направлениях $d \sin θ = m λ$ (главные максимумы), между ними $N - 1$ минимумов и $N - 2$ малых максимумов; картина одной щели охватывает их, как «огибающая». С ростом $N$ главные максимумы становятся тоньше — это дифракционная решётка.

Диск Эйри и критерий Рэлея

Круглое отверстие (объектив телескопа, зрачок глаза) изображает точечный источник в виде центрального пятна и колец — диска Эйри (≈ 84 % света в центральном пятне). Первое тёмное кольцо при $\sin θ = 1,22 λ / D$ . Когда максимум одного совпадает с первым минимумом другого, две точки «едва разрешаются» (критерий Рэлея): провал посередине ≈ 73 %. Значит, чем больше $D$ и меньше $λ$ , тем лучше разрешение. Зрачок глаза 2–8 мм, но на деле глаз различает ≈ 1′ — при широком зрачке разрешение ограничивают погрешности оптики глаза (аберрации), а также плотность клеток сетчатки. Большие наземные телескопы ограничивает атмосферная турбулентность (≈ 1″) — поэтому строят адаптивную оптику и космические телескопы. В микроскопе $d_{m i n} = 0,61 λ / N A$ : в видимом свете детали мельче ≈ 0,2 мкм не разрешаются.

Зоны Френеля: отверстие, диск, зонная пластинка, край

Если экран близко (число Френеля $m = R^{2} / λ b ≳ 1$ ), волновой фронт делят на зоны Френеля: волны от соседних зон имеют разность хода $λ / 2$ — гасят друг друга. Если отверстие открывает нечётное число зон — центр светлый (до 4I₀), если чётное — тёмный. А в центре тени непрозрачного диска всегда светлое пятно (пятно Пуассона–Араго). Зонная пластинка, закрывающая чётные зоны, фокусирует как линза: $f = r_{1}^{2} / λ$ (именно такие «линзы» применяют в рентгеновских микроскопах). На векторной диаграмме зоны идут по окружности (коэффициент наклона постепенно сводит её к центру — получается спираль). Для прямого края и щели используют спираль Корню (интегралы Френеля): на границе геометрической тени $I = I_{0} / 4$ , а на светлой стороне самый яркий максимум ≈ 1,37I₀.

Дифракционная решётка и спектральные приборы

У решётки $d \sin θ = m λ$ : разные цвета уходят под разными углами (угловая дисперсия $m / (d \cos θ)$ ). Чтобы разделить две близкие линии, угол между их максимумами должен быть больше ширины линии — это даёт критерий Рэлея: $R = λ / δ λ = m N$ . Для дублета натрия ( $Δ λ = 0,597$ нм) нужно $R \approx 987$ . Спектральные приборы бывают призменные (дисперсия показателя преломления; $R = b d n / d λ$ , $b$ — основание призмы), дифракционные и интерференционные (Фабри–Перо). Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решётке (условие Вульфа–Брэгга) подробно разобрана в эксперименте «ИК-, УФ- и рентгеновское излучение», голография — в эксперименте «Физика лазера и голография».

Модель

Скалярная теория дифракции: свет монохроматический, в расчётах Френеля — параксиальное приближение, коэффициент наклона не учитывается. Чтобы на изображениях в окуляре и на экране были видны тусклые кольца, яркость сжата квадратным корнем. Щели на слайде нарисованы увеличенными; преграда Френеля и решётка в сцене — в натуральную величину.

Знаете ли вы?

В 1818 году Огюстен Френель представил на конкурс Французской академии наук работу по волновой теории света. Симеон Пуассон вывел из неё, что в центре тени от диска должно быть светлое пятно, и счёл это нелепостью — а Франсуа Араго как раз и показал это пятно на опыте.
Диаметр зеркала космического телескопа «Хаббл» 2,4 м: в видимом свете он разрешает угол ≈ 0,05″. А наземные телескопы атмосфера обычно ограничивает на уровне ≈ 1″.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Световой поток и освещённость — 11 класс
ИК-, УФ- и рентгеновское излучение — 11 класс
Рассеяние света — 1 курс
Оптика кристаллов — 1 курс
Интерферометры и LIGO — 1 курс
Нелинейная оптика: зелёный лазер — 2 курс