Физика · Оптика · 1 курс

Оптика кристаллов

Почему текст, увиденный через исландский шпат, двоится?

Ситуация

В геологическом музее на книге лежит прозрачный кристалл в форме ромба — исландский шпат: если смотреть сквозь него, каждая буква видна дважды. Если повернуть кристалл, одно изображение остаётся на месте, а второе обходит его по кругу. В лаборатории сахарного завода поляризованный свет пропускают через трубку с раствором сахара и по тому, на какой угол повернулась плоскость поляризации, определяют количество сахара. А инженеры помещают модель пластмассовой детали между двумя поляроидами и по цветным полосам видят, где скопилось напряжение. Как один луч в кристалле раздваивается и почему сахар «вращает» свет?

Тема

Оптика кристаллов, двойное лучепреломление. Двойное изображение через исландский шпат и вращение плоскости поляризации в растворе сахара

Ключевые понятия

Двойное лучепреломление
Пластинка λ/4
Оптическая активность

Формулы

Δ n = n_{e} - n_{o}, d = t tg ρ

Двойное лучепреломление: у кальцита $Δ n \approx - 0,172$ (589 нм), необыкновенный луч отклоняется на $ρ \approx 6,2 °$ ; $d$ — расстояние между изображениями, $t$ — толщина кристалла.

Γ = \frac{2 π | Δ n | d}{λ}, d_{λ / 4} = \frac{λ}{4 | Δ n |}

Волновая пластинка: $Γ = 90 °$ — четвертьволновая (круговая поляризация), $Γ = 180 °$ — полуволновая (поворот плоскости).

I = I_{0} \sin^{2} 2 (α - β) \sin^{2} \frac{Γ}{2}, σ_{1} - σ_{2} = \frac{N f_{σ}}{t}

Анизотропный образец между скрещёнными поляроидами; закон фотоупругости: $N$ — порядок изохромы, $f_{σ}$ — постоянная материала.

Δ n = λ B E^{2}

Эффект Керра: в электрическом поле жидкость становится подобна одноосному кристаллу; для нитробензола $B \approx 2,4 \cdot 10^{- 12}$ м/В².

φ = [α] c l, β = V B l

Оптическая активность (сахароза: $[α] \approx 66,5$ °·мл/(г·дм)) и эффект Фарадея ( $V$ — постоянная Верде).

Теория

Анизотропия: одноосные и двухосные кристаллы

Скорость света в кристалле зависит от того, в каком направлении колеблется $\vec{E}$ , — среда анизотропна. В одноосных кристаллах (кальцит, кварц, лёд) есть одно особое направление — оптическая ось: вдоль неё двойного преломления нет. В построении Гюйгенса поверхность обыкновенной волны — сфера, а необыкновенной — эллипсоид вокруг оптической оси (на сцене «Волновые поверхности Гюйгенса»). В двухосных кристаллах (слюда, гипс) три главных показателя преломления и две оптические оси; показатели преломления описывает оптическая индикатриса — эллипсоид.

Обыкновенный и необыкновенный лучи

Неполяризованный луч, упавший на кальцит, раздваивается. Обыкновенный (o) луч подчиняется закону Снеллиуса и поляризован перпендикулярно плоскости главного сечения. Необыкновенный (e) луч отклоняется на $ρ \approx 6,2 °$ даже при нормальном падении (в природном ромбоэдре оптическая ось образует с нормалью к поверхности угол 44,6°) и поляризован в главном сечении. Поэтому получается двойное изображение; поляроид гасит их поочерёдно (яркость каждого подчиняется закону Малюса: $\cos^{2}$ и $\sin^{2}$ ), а при повороте кристалла e-изображение обходит o-изображение. У кварца $Δ n$ в 19 раз меньше — двойное изображение почти незаметно. На этом явлении работает призма Николя: o-луч испытывает полное внутреннее отражение на склеенном слое и уходит в сторону, а e-луч проходит поляризованным.

Пластинки λ/4 и λ/2: круговая и эллиптическая поляризация

В пластинке, вырезанной параллельно оптической оси, o- и e-волны идут в одном направлении, но с разными скоростями и приобретают разность фаз $Γ = 2 π | Δ n | d / λ$ . Если линейно поляризованный свет проходит пластинку λ/4 под углом 45°, он становится круговым, под другим углом — эллиптическим; пластинка λ/2 поворачивает плоскость поляризации на $2 θ$ . Проверка: вращающийся анализатор не меняет яркость кругового света, у эллиптического — меняет частично, у линейного — до нуля. Чтобы отличить круговой свет от неполяризованного, перед анализатором ставят ещё одну λ/4: круговой свет становится линейным. Пластинка λ/4 из кальцита для 589 нм имеет толщину всего ≈ 0,86 мкм — поэтому на практике применяют кварц или слюду. Готовая пластинка правильно работает только на своей длине волны — выберите другой лазер и проверьте.

Интерференция поляризованных лучей и фотоупругость

Две взаимно перпендикулярно поляризованные волны, вышедшие из анизотропной пластинки между скрещёнными поляроидами, проецируются в анализаторе на одну плоскость и интерферируют: $I = I_{0} \sin^{2} 2 (α - β) \sin^{2} (Γ / 2)$ . В белом свете каждый цвет получает свою разность фаз — картина становится цветной (хроматическая поляризация). Прозрачная пластмасса или стекло под напряжением становятся двоякопреломляющими (Д. Брюстер, 1816): $Δ n \propto σ_{1} - σ_{2}$ . Полосы одного цвета — изохромы (линии равной разности напряжений), чёрные изоклины — места, где главное напряжение параллельно оси поляроида; в круговом полярископе изоклины исчезают. В центре сжатого диска $N = 8 P / (π D f_{σ})$ — по этой формуле материал калибруют. Цвета в транспортире — остаточное напряжение после литья (на сцене приближённая модель).

Электрооптика и магнитооптика

Эффект Керра (Дж. Керр, 1875): в электрическом поле полярные молекулы упорядочиваются, и жидкость становится подобна одноосному кристаллу: $Δ n = λ B E^{2}$ . Ячейка Керра между скрещёнными поляроидами — очень быстрый «затвор»: при подаче напряжения свет проходит (за наносекунды). В кристаллах есть и эффект Поккельса, линейно зависящий от поля, — на нём работают модуляторы оптической связи. Эффект Фарадея (1845): магнитное поле вдоль луча поворачивает плоскость поляризации на $β = V B l$ . Направление поворота зависит не от направления луча, а от $\vec{B}$ : отражённый луч снова поворачивается в ту же сторону, и угол удваивается — на этом основаны оптические изоляторы. Радиоастрономы по фарадеевскому вращению измеряют магнитные поля космоса.

Оптическая активность и сахариметрия

Некоторые вещества сами поворачивают плоскость поляризации: кварц вдоль оптической оси (≈ 21,7°/мм при 589 нм), растворы сахаров. Причина — зеркальная несимметричность (хиральность) молекулы или кристаллической решётки: волны, вращающиеся вправо и влево по кругу, идут с разной скоростью. В растворе $φ = [α] c l$ : сахароза +66,5, глюкоза +52,7, фруктоза −92,4 °·мл/(г·дм) (589 нм, 20 °C). Вращение зависит от длины волны (примерно $1 / λ^{2}$ ) — в белом свете при повороте анализатора цвета меняются. В полутеневом сахариметре глазу гораздо легче уловить не самую тёмную точку, а равенство двух половин поля зрения. Модель: поляроиды идеальные; постоянная Верде воды 3,8 рад/(Тл·м).

Знаете ли вы?

Датский учёный Эразм Бартолин в 1669 году описал двойное изображение в кристаллах кальцита, привезённых из Исландии, — так было открыто двойное лучепреломление. Эту прозрачную разновидность кальцита называют «исландским шпатом», потому что её много в Исландии.
Майкл Фарадей в 1845 году открыл, что магнитное поле поворачивает плоскость поляризации света в стекле, — это было первое экспериментальное доказательство связи света с электромагнетизмом.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Поляризация света — 11 класс
Физика лазера и голография — 11 класс
Световой поток и освещённость — 11 класс
ИК-, УФ- и рентгеновское излучение — 11 класс
Рассеяние света — 1 курс
Интерферометры и LIGO — 1 курс
Разрешающая способность — 1 курс
Нелинейная оптика: зелёный лазер — 2 курс