Fizika · Optika · 1-kurs

Ajrata olish qobiliyati

Nega katta teleskop qo‘shaloq yulduzni ajratadi, kichigi esa bitta dog‘ ko‘radi?

Vaziyat

Kechqurun shahar chirog‘laridan uzoqda osmonga qarasangiz, Katta Ayiq «cho‘michi» dastasidagi Mizar yonida xira Alkorni ko‘rish mumkin — rivoyatga ko‘ra, qadimda bu ko‘z o‘tkirligini sinash usuli bo‘lgan. Kichik teleskopda Mizarning o‘zi ham ikkita yulduz bo‘lib chiqadi, Liradagi ε yulduz esa yaxshi teleskopda «qo‘sh-qo‘shaloq» ko‘rinadi. Lekin eng yaxshi asbobda ham yulduz nuqta emas, halqalar bilan o‘ralgan kichik dog‘ bo‘lib ko‘rinadi. Bu dog‘ni nima belgilaydi va nega katta teleskop yaqin yulduzlarni ajratadi, kichigi esa yo‘q?

Mavzu

Ajrata olish qobiliyati, Fraungofer difraksiyasi. Teleskop qancha katta — shuncha aniq: Eyri dog‘i va Reley kriteriysi

Asosiy tushunchalar

Eyri dog‘i
Reley kriteriysi
Frenel zonalari

Formulalar

I = I_{0} \frac{\sin^{2} β}{β^{2}} {(\frac{\sin N γ}{N \sin γ})}^{2}, β = \frac{π a \sin θ}{λ}, γ = \frac{π d \sin θ}{λ}

N ta tirqishdagi Fraungofer difraksiyasi: minimumlar $a \sin θ = m λ$ , bosh maksimumlar $d \sin θ = m λ$ .

\sin θ_{R} = 1,22 \frac{λ}{D}

Doiraviy teshik (obyektiv, ko‘z qorachig‘i): Eyri dog‘ining birinchi qorong‘i halqasi — Reley kriteriysi bo‘yicha ajrata oladigan eng kichik burchak.

d_{m i n} = \frac{0,61 λ}{N A}

Mikroskopning ajrata olish chegarasi; $N A$ — obyektivning sonli aperturasi (moyli immersiyada ≈ 1,4–1,5 gacha).

r_{n} = \sqrt{n λ b}, f = \frac{r_{1}^{2}}{λ}

Frenel zonalari radiuslari (yassi to‘lqin, ekran $b$ masofada) va zonali plastinka fokus masofasi.

R = \frac{λ}{δ λ} = m N, \frac{d θ}{d λ} = \frac{m}{d \cos θ}

Difraksion panjaraning ajrata olish qobiliyati va burchak dispersiyasi; $N$ — yoritilgan chiziqlar soni.

Nazariya

Gyuygens–Frenel prinsipi va vektor diagramma

To‘lqin frontining har bir nuqtasi ikkilamchi to‘lqinlar manbai; kuzatish nuqtasidagi tebranish — ularning fazalarini hisobga olgan yig‘indisi (Gyuygens–Frenel prinsipi). Bu yig‘indini chizish qulay: har bir kichik bo‘lakdan kelgan tebranish — strelka, yo‘l farqi uni buradi; strelkalar ketma-ket ulanadi (vektor diagramma). Natija strelkasining uzunligi — amplituda, kvadrati — intensivlik. Zanjir yopiq ko‘pburchakka aylansa, nuqtada qorong‘ilik (minimum) bo‘ladi.

Fraungofer difraksiyasi: bitta va ko‘p tirqish

Yassi to‘lqin tirqishdan o‘tib, uzoqda (yoki linza fokusida) Fraungofer manzarasini beradi. Bitta tirqishda minimumlar $a \sin θ = m λ$ : tirqish qanchalik tor bo‘lsa, markaziy maksimum ( $2 λ f / a$ ) shunchalik keng. $N$ ta tirqishda to‘lqinlar $d \sin θ = m λ$ yo‘nalishlarda kuchayadi (bosh maksimumlar), ular orasida $N - 1$ ta minimum va $N - 2$ ta kichik maksimum bor; bitta tirqish manzarasi bularni “konvert” kabi o‘raydi. $N$ ortgan sari bosh maksimumlar ingichkalashadi — bu difraksion panjara.

Eyri dog‘i va Reley kriteriysi

Doiraviy teshik (teleskop obyektivi, ko‘z qorachig‘i) nuqtaviy manbani markaziy dog‘ va halqalar ko‘rinishida tasvirlaydi — Eyri dog‘i (yorug‘likning ≈ 84 % i markaziy dog‘da). Birinchi qorong‘i halqa $\sin θ = 1,22 λ / D$ da. Birining maksimumi ikkinchisining birinchi minimumiga tushganda ikki nuqta “endigina ajraladi” (Reley kriteriysi): o‘rtadagi botiq ≈ 73 %. Demak, $D$ katta va $λ$ kichik bo‘lsa, ajratish yaxshi. Ko‘z qorachig‘i 2–8 mm, lekin ko‘z amalda ≈ 1′ ni ajratadi — keng qorachiqda ko‘z optikasining xatoliklari (aberratsiyalar), shuningdek to‘r pardadagi hujayralar zichligi cheklaydi. Yerdagi katta teleskoplarni atmosfera turbulentligi (≈ 1″) cheklaydi — shuning uchun moslashuvchan optika va kosmik teleskoplar quriladi. Mikroskopda $d_{m i n} = 0,61 λ / N A$ : ko‘rinadigan yorug‘likda ≈ 0,2 mkm dan kichik tafsilotlar ajralmaydi.

Frenel zonalari: teshik, disk, zonali plastinka, chet

Ekran yaqin bo‘lsa (Frenel soni $m = R^{2} / λ b ≳ 1$ ), to‘lqin frontini Frenel zonalariga bo‘lamiz: qo‘shni zonalardan kelgan to‘lqinlar yo‘l farqi $λ / 2$ — bir-birini so‘ndiradi. Teshik toq sondagi zonalarni ochsa — markaz yorug‘ (4I₀ gacha), juft — qorong‘i. Shaffof bo‘lmagan disk soyasining markazida esa doim yorug‘ dog‘ (Puasson–Arago dog‘i). Juft zonalarni yopuvchi zonali plastinka linzadek fokuslaydi: $f = r_{1}^{2} / λ$ (rentgen mikroskoplarida aynan shunday “linza” ishlatiladi). Vektor diagrammada zonalar aylana bo‘ylab yuradi (og‘ish koeffitsiyenti uni asta markazga buradi — spiral). To‘g‘ri chet va tirqish uchun Kornyu spirali (Frenel integrallari) ishlatiladi: geometrik soya chegarasida $I = I_{0} / 4$ , yorug‘ tomonda eng yorqin yo‘l ≈ 1,37I₀.

Difraksion panjara va spektral asboblar

Panjarada $d \sin θ = m λ$ : turli ranglar turli burchakka ketadi (burchak dispersiyasi $m / (d \cos θ)$ ). Ikki yaqin chiziqni ajratish uchun ularning maksimumlari orasidagi burchak chiziq kengligidan katta bo‘lishi kerak — Reley kriteriysi beradi: $R = λ / δ λ = m N$ . Natriy dubleti ( $Δ λ = 0,597$ nm) uchun $R \approx 987$ kerak. Spektral asboblar prizmali (sindirish ko‘rsatkichi dispersiyasi; $R = b d n / d λ$ , $b$ — prizma asosi), difraksion va interferension (Fabri–Pero) turlarga bo‘linadi. Kristall panjarada rentgen nurlari difraksiyasi (Vulf–Bregg sharti) — «IK, UB va rentgen nurlari» tajribasida, golografiya — «Lazer fizikasi va golografiya» tajribasida batafsil.

Model

Skalyar difraksiya nazariyasi: yorug‘lik monoxromatik, Frenel hisoblarida paraksial yaqinlashish, og‘ish koeffitsiyenti hisobga olinmagan. Okulyar va ekran tasvirlarida xira halqalar ko‘rinishi uchun yorqinlik kvadrat ildiz bilan siqilgan. Tirqishlar slaydda kattalashtirib chizilgan; Frenel to‘sig‘i va panjara sahnada haqiqiy o‘lchamda.

Bilasizmi?

Ogyusten Frenel 1818-yilda Fransiya Fanlar akademiyasi tanloviga yorug‘likning to‘lqin nazariyasi bo‘yicha ish taqdim etgan. Simeon Puasson undan disk soyasi markazida yorug‘ dog‘ bo‘lishi kerakligini keltirib chiqarib, buni bema’nilik deb hisoblagan — Fransua Arago esa aynan shu dog‘ni tajribada ko‘rsatgan.
Xabbl kosmik teleskopi ko‘zgusining diametri 2,4 m: ko‘rinadigan yorug‘likda u ≈ 0,05″ burchakni ajrata oladi. Yerdagi teleskoplarni esa atmosfera odatda ≈ 1″ bilan cheklaydi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Yorug‘lik oqimi va yoritilganlik — 11-sinf
IK, UB va rentgen nurlari — 11-sinf
Yorug‘likning sochilishi — 1-kurs
Kristallar optikasi — 1-kurs
Interferometrlar va LIGO — 1-kurs
Nochiziqli optika: yashil lazer — 2-kurs