Математика · Планиметрия · 7 класс

Точка, отрезок, угол

Почему при пересечении двух улиц противоположные углы всегда равны?

Ситуация

На карте города пересекаются две улицы — образуются четыре угла, и противоположные углы почему-то всегда одинаковы. Расстояние между домом и школой — длина отрезка, а магазин стоит на дороге между ними. Железная дорога пересекает улицу под прямым углом. Геометрия начинается именно с этих простых вещей: точка, прямая, отрезок, угол. Как мы их измеряем, сравниваем и как доказываем, что «противоположные углы равны»?

Тема

Начала геометрии: точка, прямая, отрезок, угол, смежные и вертикальные углы, перпендикуляр. Улицы на карте и железнодорожный переезд: измерение отрезков, сравнение углов, смежные и вертикальные углы

Ключевые понятия

Отрезок и угол
Смежные и вертикальные углы
Перпендикуляр

Формулы

A C + C B = A B

Длина отрезка равна сумме длин его частей (когда точка $C$ лежит на отрезке $A B$ ).

∠ A O M = ∠ M O B = \frac{1}{2} ∠ A O B

Биссектриса $O M$ делит угол пополам.

∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}

Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ : одна сторона у них общая, а две другие лежат на одной прямой.

∠ 1 = ∠ 3

Вертикальные углы равны: оба дополняют $∠ 2$ до $180^{\circ}$ .

a ⟂ b \Leftrightarrow ∠ (a, b) = 90^{\circ}

Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом; расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.

Теория

Точка, прямая, плоскость

Простейшие фигуры геометрии — точка и прямая — не определяются, их свойства задаются аксиомами: через любые две точки проходит одна и только одна прямая. Отсюда следует: две различные прямые имеют не более одной общей точки (будь у них две общие точки, это была бы одна прямая). Все фигуры лежат на плоскости (планиметрия). Часть прямой, идущая от точки в одну сторону, — луч, часть между двумя точками — отрезок. На первой ступени подвигайте точки: прямая всегда проходит через них, а вторая прямая пересекает её не более чем в одной точке.

Измерение и сравнение отрезков

Длина отрезка измеряется в единицах длины (см, м, км): нуль линейки совмещают с $A$ , число напротив $B$ — длина $A B$ . Если точка $C$ лежит на отрезке $A B$ , то $A C + C B = A B$ . Два отрезка сравнивают наложением: тот, что оказался внутри другого, меньше. Точка, делящая отрезок пополам, — середина: $A M = M B = \frac{1}{2} A B$ . На второй ступени подвигайте $C$ — $A C$ и $C B$ меняются, а их сумма всегда равна $A B$ .

Угол и градус

Угол — два луча (стороны), выходящие из одной точки (вершины). Угол измеряется в градусах: $1^{\circ}$ — это $\frac{1}{180}$ часть развёрнутого угла. Транспортир: его центр — в вершине угла, нулевая линия — на одной стороне, а вторая сторона указывает градусы на шкале. Углы сравнивают наложением: вершина на вершину, сторона на сторону — тот, у которого вторая сторона оказалась внутри, меньше. Биссектриса — луч, делящий угол пополам.

Виды углов, смежные и вертикальные углы

Угол меньше $90^{\circ}$ — острый, $90^{\circ}$ — прямой, больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$ — тупой, $180^{\circ}$ — развёрнутый. Если у двух углов одна сторона общая, а две другие образуют прямую, они смежные: их сумма $180^{\circ}$ . Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, они вертикальные. Теорема: вертикальные углы равны. Доказательство: $∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ и $∠ 3 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ (оба смежные), значит, $∠ 1 = 180^{\circ} - ∠ 2 = ∠ 3$ .

Перпендикулярные прямые и расстояние

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, перпендикулярны: $a ⟂ b$ . Две прямые, перпендикулярные одной прямой, не пересекаются (обе образуют с ней $90^{\circ}$ — они параллельны). Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, — самый короткий из всех отрезков, соединяющих точку с прямой, поэтому его длину называют расстоянием от точки до прямой. На пятой ступени подвигайте $Q$ : при $Q \neq H$ отрезок $P Q$ всегда длиннее $P H$ .

Логическое строение геометрии и о модели

Геометрия строится как цепочка: определение (новое понятие получает имя) → аксиома (исходная истина, принимаемая без доказательства) → теорема (утверждение, которое нужно доказать) → доказательство (цепочка рассуждений, опирающихся на аксиомы и ранее доказанные теоремы). Это строение мы ещё раз увидим в 10 классе при систематическом повторении планиметрии. Границы модели: на чертеже углы показываются с точностью до целого градуса (угол между улицами — с шагом $5^{\circ}$ ), длины округляются до 0,5 см; прямая и луч бесконечны, а на экране они рисуются до края; «улицы на карте» принимаются за идеальные прямые.

Знаете ли вы?

«Начала» Евклида (около 300 г. до н. э.) открываются 23 определениями и 5 постулатами; первое определение: «Точка есть то, что не имеет частей».
Деление полной окружности на 360 частей считается наследием системы счисления с основанием 60 у вавилонских астрономов. Есть и другая единица угла — радиан: полный оборот равен $2 π \approx 6,28$ радиана.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.