Математика · Планиметрия · 7 класс

Циркуль и линейка

Как с помощью линейки без делений и циркуля разделить угол пополам, а отрезок — на две равные части?

Ситуация

У плотника в руках только циркуль и линейка без делений: он откладывает равные отрезки, делит угол пополам, проводит перпендикуляр к доске — без измерений, но точно. Древние греки построили всю геометрию с помощью этих двух инструментов. Почему точка пересечения двух дуг оказывается именно нужной точкой? Как из четырёх основных построений получить треугольник, параллелограмм, квадрат и даже отрезок «среднее пропорциональное»?

Тема

Построение циркулем и линейкой: отрезок, угол, биссектриса, перпендикуляр, треугольник и четырёхугольник. Плотницкий циркуль и верёвка: откладывание равного отрезка, деление угла пополам, опускание перпендикуляра, построение треугольника по трём сторонам

Ключевые понятия

Построение
Биссектриса
Серединный перпендикуляр

Формулы

P Q = A B

Равный отрезок: раскрываем циркуль на $A B$ и из точки $P$ проводим дугу на луче — раствор сохранён, поэтому $P Q = A B$ .

△ O M K = △ O N K \Rightarrow ∠ M O K = ∠ K O N

Биссектриса: $O M = O N$ , $M K = N K$ (равные дуги), $O K$ — общая сторона: по третьему признаку треугольники равны, значит, равны и углы.

P A = P B, Q A = Q B \Rightarrow P Q ⟂ A B, A O = O B

Серединный перпендикуляр: точки $P$ и $Q$ , где пересекаются равные дуги из $A$ и $B$ , равноудалены от $A$ и $B$ , поэтому прямая $P Q$ перпендикулярна $A B$ и делит его пополам.

C H = \sqrt{a \cdot b}

Среднее пропорциональное: в полуокружности с диаметром $a + b$ перпендикуляр, восставленный из точки стыка, даёт $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

Теория

Инструменты и правило

В построениях циркуль делает только две вещи: проводит окружность (дугу) с заданным центром и радиусом и переносит длину отрезка «раствором». Линейка без делений: она лишь проводит прямую через две точки. Измерений нет — поэтому результат точный и доказуемый. В 3 классе вы чертили циркулем окружность и шестилепестковый узор: если, не меняя раствора, ставить иглу на окружность, дуги уложатся ровно шесть раз (радиус откладывается по окружности шесть раз).

Равный отрезок, перенос угла, биссектриса

Равный отрезок: раскрываем циркуль на $A B$ и из $P$ проводим дугу на луче — $P Q = A B$ . Перенос угла: дуга с центром $O$ пересекает стороны в точках $M$ , $N$ ; тем же радиусом дуга из $O_{1}$ — точка $M_{1}$ ; раскрыв циркуль на $M N$ , проводим дугу из $M_{1}$ — точка $N_{1}$ . Треугольники $△ O M N$ и $△ O_{1} M_{1} N_{1}$ равны по трём сторонам, значит, углы равны. Биссектриса: равные дуги из $M$ и $N$ пересекаются в точке $K$ ; $△ O M K = △ O N K$ (третий признак) — $O K$ делит угол пополам. «Почему это верно» для каждого построения — равенство треугольников.

Перпендикуляр и серединный перпендикуляр

Перпендикуляр из точки к прямой: дуга из $P$ пересекает прямую в точках $M$ , $N$ ; равные дуги из $M$ и $N$ дают точку $Q$ ; $P Q ⟂ l$ (и $P$ , и $Q$ равноудалены от $M$ и $N$ ). Перпендикуляр в точке на прямой: откладываем от точки в обе стороны равные отрезки и действуем так же. Серединный перпендикуляр: равные дуги радиуса больше $\frac{A B}{2}$ из $A$ и $B$ пересекаются в точках $P$ и $Q$ ; прямая $P Q$ пересекает $A B$ в середине $O$ под прямым углом. Так решаются и деление отрезка пополам, и нахождение его середины.

Треугольник и четырёхугольники

Треугольник строится по трём элементам — именно признаки равенства говорят, сколько данных достаточно: три стороны (пересечение дуг), две стороны и угол (переносим угол и откладываем сторону на луче), сторона и два угла (пересечение двух лучей), катет и гипотенуза (перпендикуляр, катет, дуга радиуса гипотенузы — 8 класс). Параллельная прямая — переносом соответственного угла; параллелограмм — угол, две стороны и равенство противоположных сторон; квадрат — перпендикуляр и четыре равные стороны.

Сложные построения

Среднее пропорциональное (9 класс): откладываем $A H = a$ , $H B = b$ на одной прямой, на $A B$ как на диаметре строим полуокружность, перпендикуляр в точке $H$ пересекает полуокружность в точке $C$ . Угол, опирающийся на диаметр, прямой; в прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет $C H^{2} = A H \cdot H B$ — значит, $C H = \sqrt{a b}$ : при $a = 2$ , $b = 8$ получаем $C H = 4$ . Гомотетия (подобный многоугольник): из центра $O$ проводим лучи через вершины и откладываем на каждом расстояние в $k$ раз больше; полученный многоугольник подобен данному с коэффициентом $k$ .

О модели

На экране дуги чертит циркуль, а точки ставите вы: когда точка оказывается рядом с местом пересечения, она «прилипает» к нему (на настоящем чертеже это — точная отметка кончиком карандаша). Линейка без делений: длины переносятся только циркулем; числа в полях нужны для проверки чертежа. На настоящем чертеже каждое построение даёт погрешность ± 0,5 мм; на экране расчёт точный. Не всякую задачу можно решить циркулем и линейкой: нельзя разделить угол на три равные части или построить квадрат, равновеликий кругу (это доказано в XIX веке).

Знаете ли вы?

Первые три постулата «Начал» Евклида описывают именно работу линейки и циркуля: провести прямую через две точки, продолжить её и описать окружность с данным центром и радиусом.
Невозможность трисекции угла и удвоения куба циркулем и линейкой доказал в 1837 году французский математик Пьер Ванцель; невозможность квадратуры круга стала ясна в 1882 году (Линдеман, трансцендентность числа π).

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.