Математика · Планиметрия · 7 класс

Параллельные прямые

Улица, пересекающая рельсы, образует восемь углов — почему четыре из них равны?

Ситуация

Железнодорожные рельсы, сколько бы они ни тянулись, не пересекаются — они параллельны. Улица, пересекающая их, образует восемь углов, и значений у этих углов только два. А чертёжник с помощью линейки и угольника одним движением проводит параллельную прямую через любую точку. Почему о параллельности двух прямых можно судить по углам, и какие углы образуют параллельные прямые с секущей?

Тема

Параллельные прямые: признаки, углы при секущей. Железнодорожные рельсы и пересекающая их улица: соответственные, накрест лежащие и односторонние углы

Ключевые понятия

Признаки параллельности
Секущая и углы
Соответственные и накрест лежащие углы

Формулы

a ∥ b

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, параллельны. Аксиома: через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

∠ 3 = ∠ 5 \Rightarrow a ∥ b

Признак параллельности: если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (так же, если равны соответственные углы или сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$ ).

a ∥ b \Rightarrow ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 5

Свойство (обратная теорема): параллельные прямые образуют с секущей равные соответственные и равные внутренние накрест лежащие углы.

∠ 4 + ∠ 5 = 180^{\circ}

У параллельных прямых сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$ .

α + β + γ = 180^{\circ}

Применение: если из вершины треугольника провести прямую, параллельную основанию, три угла составят развёрнутый угол.

Теория

Определение и аксиома

Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо вообще не пересекаются. Непересекающиеся прямые называются параллельными: $a ∥ b$ . Прямая, повёрнутая хоть чуть-чуть — даже на $1^{\circ}$ , — обязательно пересечётся, только далеко (на первом шаге прочитайте расстояние). Аксиома параллельности: через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Это утверждение не доказывается — оно положено в основу геометрии.

Секущая и восемь углов

Третья прямая, пересекающая две прямые, — секущая — образует восемь углов. Углы между прямыми — внутренние ( $∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6$ ), а лежащие снаружи — внешние. Пары: соответственные углы расположены одинаково ( $∠ 1$ и $∠ 5$ ); внутренние накрест лежащие — внутренние, по разные стороны от секущей ( $∠ 3$ и $∠ 5$ ); внутренние односторонние — внутренние, по одну сторону ( $∠ 4$ и $∠ 5$ ). На втором шаге поворачивайте секущую: из восьми углов получаются только два разных значения.

Признаки параллельности

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство: симметрия относительно середины $O$ отрезка $P Q$ переводит $P$ в $Q$ , секущую — в себя, а $a$ — в прямую, проходящую через $Q$ и образующую с секущей такой же угол, то есть в $b$ . Если бы $a$ и $b$ пересеклись в некоторой точке $X$ , они пересеклись бы и в симметричной точке $X^{'}$ — но две прямые не могут пересекаться в двух точках. Значит, $a ∥ b$ . Если равны соответственные углы ( $∠ 1 = ∠ 3$ — вертикальные) или сумма внутренних односторонних равна $180^{\circ}$ ( $∠ 3 = 180^{\circ} - ∠ 4$ ), то накрест лежащие углы тоже оказываются равными.

Свойства параллельных прямых

Обратная теорема: если $a ∥ b$ , то внутренние накрест лежащие углы равны. Доказательство от противного: пусть $∠ 3 \neq ∠ 5$ ; проведём через $P$ прямую $a^{'}$ , образующую с секущей угол, равный $∠ 5$ , — по признаку $a^{'} ∥ b$ . Но и $a ∥ b$ : через $P$ проходят две прямые, параллельные $b$ , — это противоречит аксиоме. Значит, $a^{'} = a$ и $∠ 3 = ∠ 5$ . Следствия: соответственные углы равны, сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$ . Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, она перпендикулярна и другой.

Построение параллельной прямой

Чертёжный способ: приложим одну сторону угольника к $a$ , к другой его стороне приставим линейку и будем двигать угольник вдоль линейки до точки $M$ — сторона остаётся параллельной $a$ (соответственные углы равны). С циркулем: проведём через $M$ произвольную секущую и перенесём в $M$ угол, который она образует с $a$ (равные дуги и равная хорда) — соответственные углы равны, значит, новая прямая параллельна $a$ . На пятом шаге подвигайте угольник сами.

Применение и о модели

Параллельные прямые — ключ ко многим теоремам: если из вершины треугольника провести прямую, параллельную основанию, накрест лежащие углы соберут три угла в один развёрнутый — $α + β + γ = 180^{\circ}$ . Ступеньки лестницы параллельны, а наклонная опора — секущая: с каждой ступенькой она образует один и тот же (соответственный) угол. Ограничения модели: углы меняются с шагом $5^{\circ}$ , длины показаны округлённо; «рельсы» считаются идеальными прямыми; прямые бесконечны, а на экране рисуются до края.

Знаете ли вы?

Две тысячи лет пытались доказать пятый постулат Евклида (аксиому параллельности). В 1829 году Н. Лобачевский, а в 1832 году Я. Бойяи отказались от него и построили новую, непротиворечивую — неевклидову — геометрию.
На железных дорогах Узбекистана расстояние между рельсами (ширина колеи) равно 1520 мм; во многих странах Европы — 1435 мм. Если бы рельсы не были параллельны, колёса поезда сошли бы с рельсов.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.