Matematika · Planimetriya · 7-sinf

Parallel to‘g‘ri chiziqlar

Relslarni kesib o‘tgan ko‘cha sakkizta burchak hosil qiladi — nega to‘rttasi teng?

Vaziyat

Temir yo‘l relslari qancha davom etsa ham kesishmaydi — ular parallel. Ularni kesib o‘tgan ko‘cha sakkizta burchak hosil qiladi, va ulardan faqat ikki xil qiymat chiqadi. Chizmachi esa chizg‘ich va uchburchak bilan istalgan nuqta orqali parallel chiziqni bir harakatda o‘tkazadi. Nega ikki chiziqning parallelligini burchaklardan bilib olish mumkin, va parallel chiziqlar kesuvchi bilan qanday burchaklar hosil qiladi?

Mavzu

Parallel to‘g‘ri chiziqlar: alomatlari, kesuvchi hosil qilgan burchaklar. Temir yo‘l relslari va ularni kesib o‘tgan ko‘cha: mos, ichki almashinuvchi va bir tomonli burchaklar

Asosiy tushunchalar

Parallellik alomatlari
Kesuvchi va burchaklar
Mos va almashinuvchi burchaklar

Formulalar

a ∥ b

Bir tekislikda yotib kesishmaydigan ikki to‘g‘ri chiziq — parallel. Aksioma: chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali unga parallel faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi.

∠ 3 = ∠ 5 \Rightarrow a ∥ b

Parallellik alomati: ichki almashinuvchi burchaklar teng bo‘lsa, chiziqlar parallel (mos burchaklar teng yoki bir tomonli ichki burchaklar yig‘indisi $180^{\circ}$ bo‘lsa ham).

a ∥ b \Rightarrow ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 5

Xossa (teskari teorema): parallel chiziqlar kesuvchi bilan teng mos va teng ichki almashinuvchi burchaklar hosil qiladi.

∠ 4 + ∠ 5 = 180^{\circ}

Parallel chiziqlarda bir tomonli ichki burchaklar yig‘indisi $180^{\circ}$ .

α + β + γ = 180^{\circ}

Tatbiq: uchburchak uchidan asosga parallel o‘tkazsak, uchta burchak yoyiq burchakni to‘ldiradi.

Nazariya

Ta’rif va aksioma

Tekislikdagi ikki to‘g‘ri chiziq yo bitta nuqtada kesishadi, yo umuman kesishmaydi. Kesishmaydiganlari parallel deyiladi: $a ∥ b$ . Ozgina — hatto $1^{\circ}$ ga — burilgan chiziq albatta kesishadi, faqat uzoqda (birinchi pog‘onada masofani o‘qing). Parallellik aksiomasi: to‘g‘ri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali unga parallel bo‘lgan faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi. Bu tasdiq isbotlanmaydi — u geometriyaning asosiga qo‘yilgan.

Kesuvchi va sakkiz burchak

Ikki chiziqni kesib o‘tgan uchinchi chiziq — kesuvchi — sakkizta burchak hosil qiladi. Chiziqlar orasidagilar — ichki ( $∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6$ ), tashqaridagilar — tashqi. Juftliklar: mos burchaklar bir xil joylashgan ( $∠ 1$ va $∠ 5$ ); ichki almashinuvchi — ichki, kesuvchining har xil tomonida ( $∠ 3$ va $∠ 5$ ); bir tomonli ichki — ichki, bir tomonda ( $∠ 4$ va $∠ 5$ ). Ikkinchi pog‘onada kesuvchini buring: sakkiz burchakdan faqat ikki xil qiymat chiqadi.

Parallellik alomatlari

Agar ichki almashinuvchi burchaklar teng bo‘lsa, chiziqlar parallel. Isbot: $P Q$ ning o‘rtasi $O$ ga nisbatan simmetriya $P$ ni $Q$ ga, kesuvchini o‘ziga, $a$ ni esa $Q$ orqali o‘tib kesuvchi bilan xuddi shunday burchak hosil qiluvchi chiziqqa — $b$ ga o‘tkazadi. $a$ va $b$ biror $X$ nuqtada kesishsa, simmetrik $X^{'}$ nuqtada ham kesishar edi — ikki to‘g‘ri chiziq ikki nuqtada kesisha olmaydi. Demak $a ∥ b$ . Mos burchaklar teng bo‘lsa ham ( $∠ 1 = ∠ 3$ — vertikal), bir tomonli ichki yig‘indisi $180^{\circ}$ bo‘lsa ham ( $∠ 3 = 180^{\circ} - ∠ 4$ ) — almashinuvchi burchaklar teng chiqadi.

Parallel chiziqlarning xossalari

Teskari teorema: agar $a ∥ b$ bo‘lsa, ichki almashinuvchi burchaklar teng. Isbot teskarisidan: $∠ 3 \neq ∠ 5$ deylik; $P$ orqali kesuvchi bilan $∠ 5$ ga teng burchak hosil qiluvchi $a^{'}$ chiziq o‘tkazamiz — alomat bo‘yicha $a^{'} ∥ b$ . Lekin $a ∥ b$ ham: $P$ orqali $b$ ga ikkita parallel — aksiomaga zid. Demak $a^{'} = a$ va $∠ 3 = ∠ 5$ . Natijalar: mos burchaklar teng, bir tomonli ichki burchaklar yig‘indisi $180^{\circ}$ . Agar chiziq ikki parallel chiziqning biriga perpendikulyar bo‘lsa, ikkinchisiga ham perpendikulyar.

Parallel chiziq o‘tkazish

Chizmachilik usuli: uchburchakning bir tomonini $a$ ga qo‘yamiz, ikkinchi tomoniga chizg‘ichni tiraymiz va uchburchakni chizg‘ich bo‘ylab $M$ nuqtagacha siljitamiz — tomon $a$ ga parallel qoladi (mos burchaklar teng). Sirkul bilan: $M$ orqali ixtiyoriy kesuvchi o‘tkazib, uning $a$ bilan hosil qilgan burchagini $M$ da ko‘chiramiz (teng yoylar va teng vatar) — mos burchaklar teng, demak yangi chiziq $a$ ga parallel. Beshinchi pog‘onada uchburchakni o‘zingiz siljiting.

Tatbiq va model haqida

Parallel chiziqlar ko‘p teoremaning kaliti: uchburchak uchidan asosga parallel o‘tkazsak, almashinuvchi burchaklar uchta burchakni bir yoyiq burchakka yig‘adi — $α + β + γ = 180^{\circ}$ . Zinapoyaning pog‘onalari parallel, qiya tayanch — kesuvchi: har pog‘ona bilan bir xil (mos) burchak hosil qiladi. Model chegaralari: burchaklar $5^{\circ}$ qadam bilan, uzunliklar yaxlitlab ko‘rsatiladi; «relslar» ideal to‘g‘ri chiziq deb olinadi; chiziqlar cheksiz, ekranda esa chetgacha chiziladi.

Bilasizmi?

Evklidning beshinchi postulatini (parallellik aksiomasini) ikki ming yil davomida isbotlashga urinishgan. 1829-yilda N. Lobachevskiy, 1832-yilda Y. Boyai undan voz kechib, ziddiyatsiz yangi — noevklid — geometriya qurdi.
O‘zbekiston temir yo‘llarida relslar orasidagi masofa (iz kengligi) 1520 mm; Yevropaning ko‘p mamlakatlarida — 1435 mm. Relslar parallel bo‘lmasa, poyezd g‘ildiraklari izdan chiqib ketar edi.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.