Matematika · Planimetriya · 7-sinf

Uchburchak burchaklari

Uch burchakni yirtib yonma-yon qo‘ysangiz, nega doim yoyiq burchak chiqadi?

Vaziyat

Qog‘oz uchburchakning uch burchagini yirtib olib, uchlarini bir nuqtaga qo‘ysangiz — qanday uchburchak bo‘lmasin, yoyiq burchak chiqadi. Toshkentdan Buxoroga to‘g‘ri yo‘l Samarqand orqali aylanma yo‘ldan doim qisqa — xaritadagi uch shahar uchburchak hosil qiladi. Nega burchaklar yig‘indisi doim 180°, nega katta tomon qarshisida katta burchak yotadi va qanday uchta kesmadan uchburchak yasab bo‘ladi?

Mavzu

Uchburchak burchaklari yig‘indisi, to‘g‘ri burchakli uchburchak, bissektrisa xossasi, tomonlar va burchaklar munosabati, uchburchak tengsizligi. Qog‘oz uchburchakning burchaklarini yirtib yonma-yon qo‘yish — 180°; uch shahar orasidagi yo‘l — uchburchak tengsizligi

Asosiy tushunchalar

Burchaklar yig‘indisi 180°
To‘g‘ri burchakli uchburchak
Uchburchak tengsizligi

Formulalar

α + β + γ = 180^{\circ}

Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi — yoyiq burchak. Isbot: uchidan asosga parallel o‘tkazilgan chiziq va almashinuvchi burchaklar.

∠ C B D = α + γ

Tashqi burchak unga qo‘shni bo‘lmagan ikki ichki burchak yig‘indisiga teng (va ularning har biridan katta).

α + β = 90^{\circ}, a = \frac{c}{2} (α = 30^{\circ})

To‘g‘ri burchakli uchburchak: o‘tkir burchaklar yig‘indisi $90^{\circ}$ ; $30^{\circ}$ qarshisidagi katet gipotenuzaning yarmiga teng (va teskarisi).

M K = M L, M K ⟂ O A, M L ⟂ O B

Bissektrisa xossasi: bissektrisadagi $M$ nuqta burchak tomonlaridan teng uzoqlikda; teskarisi ham to‘g‘ri — tomonlardan teng uzoqlikdagi nuqta bissektrisada yotadi.

a < b + c, b < a + c, c < a + b

Uchburchak tengsizligi: har bir tomon qolgan ikkitasining yig‘indisidan kichik. Katta tomon qarshisida katta burchak yotadi.

Nazariya

Burchaklar yig‘indisi va tashqi burchak

Har qanday uchburchakda $α + β + γ = 180^{\circ}$ . Isbot: $C$ uchi orqali $A B$ ga parallel o‘tkazamiz; parallel chiziqlar va kesuvchilar $A C$ , $B C$ hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar teng, shuning uchun $C$ dagi uchta burchak yoyiq burchakni to‘ldiradi. Tashqi burchak — ichki burchakka qo‘shni burchak: $∠ C B D = 180^{\circ} - β = α + γ$ . Birinchi pog‘onada $C$ ni suring: burchaklar o‘zgaradi, yig‘indi esa doim $180^{\circ}$ .

To‘g‘ri burchakli uchburchak

Bitta burchagi $90^{\circ}$ bo‘lsa, qolgan ikkitasi o‘tkir va ularning yig‘indisi $90^{\circ}$ . $30^{\circ}$ li burchak qarshisidagi katet gipotenuzaning yarmiga teng: uchburchakni katet bo‘ylab aks ettirsak, uchidagi burchak $60^{\circ}$ bo‘lgan teng yonli, ya’ni teng tomonli uchburchak hosil bo‘ladi, uning tomoni $2 a = c$ . Teskarisi: katet gipotenuzaning yarmiga teng bo‘lsa, qarshisidagi burchak $30^{\circ}$ . To‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligining alomatlari: ikki katet; katet va o‘tkir burchak; gipotenuza va o‘tkir burchak; gipotenuza va katet bo‘yicha.

Bissektrisa xossasi

Burchak bissektrisasidagi har bir nuqta burchak tomonlaridan teng uzoqlikda: $M K ⟂ O A$ , $M L ⟂ O B$ bo‘lsa, $M K = M L$ . Isbot: $O M K$ va $O M L$ to‘g‘ri burchakli uchburchaklarning gipotenuzasi $O M$ umumiy, o‘tkir burchaklari teng (bissektrisa) — ular gipotenuza va o‘tkir burchak bo‘yicha teng. Teskarisi: burchak ichida tomonlardan teng uzoqlikdagi nuqta bissektrisada yotadi. To‘rtinchi pog‘onada $M$ ni suring: bissektrisadan chiqsangiz, masofalar farq qiladi.

Tomonlar va burchaklar munosabati

Uchburchakda katta tomon qarshisida katta burchak yotadi, va teskarisi. Isbot: $A C > A B$ bo‘lsin; $A C$ da $A D = A B$ nuqtani olamiz. $A B D$ teng yonli: $∠ A B D = ∠ A D B$ . $∠ A D B$ — $B D C$ uchburchakning tashqi burchagi, demak $∠ A D B > ∠ C$ ; $∠ A B C > ∠ A B D$ . Shunday qilib $∠ B > ∠ C$ . Natija: to‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuza — eng katta tomon; teng tomonlar qarshisida teng burchaklar.

Uchburchak tengsizligi

Har bir tomon qolgan ikki tomon yig‘indisidan kichik: $c < a + b$ . Xaritada to‘g‘ri yo‘l aylanma yo‘ldan doim qisqa. Uchta kesmadan uchburchak yasash uchun uchala tengsizlik bajarilishi kerak: oltinchi pog‘onada sirkul yoylari faqat shunda kesishadi. Qisqa yozuv: $| a - b | < c < a + b$ . Ikki tomon berilgan bo‘lsa, uchinchisi shu oraliqdagi istalgan son.

Model haqida

Burchaklar o‘ndan bir gradusgacha, uzunliklar yaxlitlab ko‘rsatiladi; uchlar 0,5 birlik qadam bilan suriladi. Shaharlar orasidagi masofalar — to‘g‘ri chiziq bo‘yicha (havo yo‘li), yo‘lning haqiqiy uzunligi emas; ular shaharlarning geografik koordinatalaridan taxminan hisoblangan. Qog‘oz bo‘laklari «yirtilganda» uchburchak o‘zgarmaydi deb olinadi.

Bilasizmi?

Uchburchak burchaklari yig‘indisi $180^{\circ}$ ekani Evklidning «Negizlar» asarida (mil. av. taxminan 300-yil) I kitobning 32-taklifi sifatida isbotlangan — tashqi burchak haqidagi tasdiq bilan birga.
Sferada uchburchak burchaklari yig‘indisi $180^{\circ}$ dan katta: Yer sharida ekvator va ikki meridiandan tuzilgan uchburchakning ekvatordagi ikkala burchagi $90^{\circ}$ — yig‘indi $180^{\circ}$ dan qutbdagi burchak qadar ortiq.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.