Matematika · Planimetriya · 8-sinf

Pifagor teoremasi

Narvon devorning qaysi balandligiga yetadi? Tayoq qutiga sig‘adimi?

Vaziyat

Elektrchi 5 metrli narvonni devorga suyadi: pastki uchi devordan 3 metr uzoqda. Narvon devorning qaysi balandligiga yetadi? Ruletka bilan o‘lchash shart emas — to‘g‘ri burchakli uchburchakda ikki tomon ma’lum bo‘lsa, uchinchisi hisoblanadi. Qanday qilib va nega aynan shunday? Kataklarni sanaymiz, uchburchaklarni surib isbotlaymiz, keyin xaritadagi masofa va qutining diagonaliga qo‘llaymiz.

Mavzu

Pifagor teoremasi va uning qo‘llanishi. Narvon va devor, duradgorning 3-4-5 arqoni, xaritadagi masofa va qutining diagonali

Asosiy tushunchalar

To‘g‘ri burchakli uchburchak
Katetlar va gipotenuza
Isbot

Formulalar

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Pifagor teoremasi: to‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlar kvadratlarining yig‘indisi gipotenuza kvadratiga teng.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}

Ikki tomon ma’lum bo‘lsa, uchinchisi topiladi (narvon: $\sqrt{25 - 9} = 4$ m).

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Koordinata tekisligida ikki nuqta orasidagi masofa — katetlari $| x_{2} - x_{1} |$ va $| y_{2} - y_{1} |$ bo‘lgan uchburchakning gipotenuzasi.

D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

To‘g‘ri burchakli parallelepipedning diagonali: teorema ikki marta qo‘llanadi (asos diagonali, keyin balandlik).

Nazariya

Nima deyiladi

To‘g‘ri burchakli uchburchakda to‘g‘ri burchak yonidagi tomonlar — katetlar ( $a$ , $b$ ), qarshisidagi eng uzun tomon — gipotenuza ( $c$ ). Teorema: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Birinchi pog‘onada buni kataklar bilan ko‘rasiz: $3^{2} = 9$ va $4^{2} = 16$ ta katak jami $25 = 5^{2}$ ta katak beradi. Kvadratlar sanab bo‘lmaydigan bo‘lganda ham (masalan, $c = \sqrt{13}$ ) tenglik saqlanadi — buni isbot ko‘rsatadi.

Isbot 1: qayta joylash

Tomoni $a + b$ bo‘lgan katta kvadratga to‘rtta bir xil to‘g‘ri burchakli uchburchakni joylaymiz. Bir joylashuvda ular o‘rtasida tomoni $c$ bo‘lgan kvadrat qoladi; uchburchaklarni surib, ikkinchi joylashuvda ikki kvadrat — $a^{2}$ va $b^{2}$ — qoladi. Katta kvadrat ham, to‘rt uchburchak ham o‘sha-o‘sha, demak qolgan yuzalar teng: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Bu isbotda hech qanday hisob yo‘q — faqat yuzalarning saqlanishi.

Isbot 2: o‘xshash uchburchaklar

To‘g‘ri burchak uchidan gipotenuzaga balandlik tushiramiz. Hosil bo‘lgan ikki kichik uchburchak kattasiga o‘xshash (burchaklari bir xil). O‘xshashlikdan $\frac{b}{c} = \frac{c_{1}}{b}$ , ya’ni $b^{2} = c \cdot c_{1}$ , va xuddi shunday $a^{2} = c \cdot c_{2}$ . Qo‘shsak: $a^{2} + b^{2} = c (c_{1} + c_{2}) = c \cdot c = c^{2}$ . Uchburchakning uchini surib ko‘ring — isbot har qanday to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun ishlaydi.

Teskari teorema va uchliklar

Agar uchburchakning tomonlari $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ni qanoatlantirsa, $c$ qarshisidagi burchak to‘g‘ri. Shuning uchun 12 tugunli arqon (3 + 4 + 5) qurilishda to‘g‘ri burchak beradi. Tomonlari butun son bo‘lgan bunday uchburchaklar — Pifagor uchliklari: 3-4-5 va uning karralari (6-8-10 …), lekin boshqalari ham bor — ularni to‘rtinchi pog‘onada toping. Hamma uchliklarni $m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2}$ formulasi beradi ( $m > n$ — natural sonlar).

Masofa va diagonal

Koordinata tekisligida $A (x_{1}; y_{1})$ va $B (x_{2}; y_{2})$ nuqtalar orasidagi masofa — katetlari $| x_{2} - x_{1} |$ va $| y_{2} - y_{1} |$ bo‘lgan uchburchakning gipotenuzasi: $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ . Fazoda esa teorema ikki marta qo‘llanadi: qutining asosi diagonali $d_{1} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , keyin $d_{1}$ va balandlik $c$ dan $D = \sqrt{d_{1}^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . 40 × 30 × 50 sm quti ichiga 70 sm tayoq sig‘adi: $D \approx 70,7$ sm.

Model haqida

Chizmalarda tomonlar butun yoki o‘nli sonlar bilan berilgan, hisoblar aniq: $\sqrt{2}$ kabi irratsional qiymatlar yaxlitlab ko‘rsatiladi (verguldan keyin ikki raqam). Qutidagi tayoq nol qalinlikda deb olinadi — haqiqiy tayoq uchun yana bir necha millimetr zaxira kerak.

Bilasizmi?

Bobil sopol lavhasi «Plimpton 322» (taxminan mil. av. 1800-yil) Pifagor uchliklari jadvalini saqlagan — Pifagordan ming yildan ko‘proq oldin.
Teoremaning yuzlab isboti bor: Elisha Lumisning «The Pythagorean Proposition» kitobida (1940-yilgi nashr) 370 ta isbot to‘plangan; ularning biri AQSh prezidenti J. Garfildga tegishli.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.