Matematika · Planimetriya · 7-sinf

Uchburchaklar tengligi

Nega ko‘prik fermasi uchburchaklardan? Uchburchakni qancha ma’lumot aniqlaydi?

Vaziyat

Ko‘prik fermasi, simyog‘och tortqilari va darvoza panjarasi — hammasi uchburchaklardan yig‘ilgan. Sharnirli to‘rtburchakni itarsangiz qiyshayadi, uchburchak esa joyidan qimirlamaydi: uch tomoni ma’lum uchburchak faqat bitta. Qancha ma’lumot uchburchakni to‘liq aniqlaydi — ikki tomon va burchakmi, tomon va ikki burchakmi, uch tomonmi? Bular — tenglik alomatlari; ular bilan daryoning kengligini daryodan o‘tmasdan o‘lchash ham mumkin.

Mavzu

Uchburchaklar: turlari, elementlari, tenglik alomatlari, teng yonli uchburchak xossalari. Ko‘prik fermasi va simyog‘och tortqilari: nega uchburchak qattiq? Tenglik alomatlari — uchburchakni qancha ma’lumot aniqlaydi

Asosiy tushunchalar

Tenglik alomatlari
Teng yonli uchburchak
Qattiqlik

Formulalar

△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Teng uchburchaklar — ustma-ust qo‘yganda mos tushadigan uchburchaklar: mos tomonlari va mos burchaklari teng.

A B = A_{1} B_{1}, A C = A_{1} C_{1}, ∠ A = ∠ A_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Birinchi alomat: ikki tomon va ular orasidagi burchak bo‘yicha.

A B = A_{1} B_{1}, ∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Ikkinchi alomat: tomon va unga yopishgan ikki burchak bo‘yicha.

A B = A_{1} B_{1}, B C = B_{1} C_{1}, A C = A_{1} C_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Uchinchi alomat: uch tomon bo‘yicha — shuning uchun uchburchak qattiq.

A B = B C \Rightarrow ∠ A = ∠ C

Teng yonli uchburchakda asosdagi burchaklar teng; uchidan o‘tkazilgan bissektrisa — mediana ham, balandlik ham.

Nazariya

Elementlar va turlar

Uchburchakning uchlari $A, B, C$ , tomonlari $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ (tomon qarshisidagi uchning harfi bilan ataladi) va burchaklari $α, β, γ$ . Perimetri $P = a + b + c$ . Tomonlari bo‘yicha: turli tomonli, teng yonli (ikki yon tomoni teng, uchinchisi — asos), teng tomonli (uch tomoni teng). Burchaklari bo‘yicha: o‘tkir burchakli (uchala burchagi $90^{\circ}$ dan kichik), to‘g‘ri burchakli (bitta burchagi $90^{\circ}$ : katetlar va gipotenuza), o‘tmas burchakli (bitta burchagi $90^{\circ}$ dan katta). Birinchi pog‘onada uchlarni suring — tur nomi o‘zgaradi.

Teng uchburchaklar va birinchi alomat

Ikki uchburchak teng deyiladi, agar ularni ustma-ust qo‘yganda mos tushsa — u holda mos tomonlari va mos burchaklari teng. Hammasini tekshirish shart emas: birinchi alomat — ikki tomoni va ular orasidagi burchagi mos ravishda teng uchburchaklar teng. Isbot g‘oyasi — ustma-ust qo‘yish: $A_{1}$ ni $A$ ga, $A_{1} B_{1}$ nurni $A B$ ga qo‘yamiz; $A_{1} B_{1} = A B$ bo‘lgani uchun $B_{1}$ nuqta $B$ ga tushadi; burchaklar teng bo‘lgani uchun $A_{1} C_{1}$ nur $A C$ ga, $A_{1} C_{1} = A C$ dan $C_{1}$ nuqta $C$ ga tushadi. Uchinchi pog‘onada aynan shu ko‘chirish ko‘rsatiladi.

Teng yonli uchburchak xossalari

$A B = B C$ bo‘lsa, $B$ — uchi, $A C$ — asosi. Asosdagi burchaklar teng: $∠ A = ∠ C$ . Isbot: $B$ dan $B D$ bissektrisa o‘tkazamiz; $△ A B D$ va $△ C B D$ da $A B = C B$ , $B D$ — umumiy, $∠ A B D = ∠ C B D$ — birinchi alomat bo‘yicha ular teng, demak $∠ A = ∠ C$ . Shu tenglikdan yana $A D = D C$ va $∠ A D B = ∠ C D B = 90^{\circ}$ : bissektrisa ham mediana, ham balandlik. Teskarisi ham to‘g‘ri: ikki burchagi teng uchburchak teng yonli. Teng tomonli uchburchakda uchala burchak $60^{\circ}$ .

Ikkinchi va uchinchi alomatlar

Ikkinchi alomat: tomoni va unga yopishgan ikki burchagi mos ravishda teng uchburchaklar teng. Nega: $A B$ tomonning uchlaridan berilgan burchaklar ostida chiqqan nurlar faqat bitta nuqtada kesishadi — uchinchi uch shu yerda. Uchinchi alomat: uch tomoni mos ravishda teng uchburchaklar teng: $A$ dan radiusi $b$ , $B$ dan radiusi $a$ bo‘lgan yoylar $A B$ ning bir tomonida bitta nuqtada kesishadi (ikkinchisi — uning aks tasviri). Shuning uchun uchburchak qattiq: to‘rtburchak sharnirlarda qiyshayadi, uchburchak esa yo‘q. Yoylar kesishmasa ( $a + b \leq c$ yoki $| a - b | \geq c$ ) uchburchak yo‘q — bu uchburchak tengsizligi («Uchburchak burchaklari» tajribasi).

Qo‘llanish: daryo kengligi

Qirg‘oqdagi $A$ nuqtadan qarshi qirg‘oqdagi $B$ daraxtgacha masofa kerak. Qirg‘oq bo‘ylab $A O = O C$ qilib $O$ va $C$ nuqtalarni belgilaymiz, $C$ dan qirg‘oqqa perpendikulyar yurib, $O$ qoziq bilan $B$ daraxt bir chiziqda ko‘ringan $D$ nuqtada to‘xtaymiz. $△ A O B$ va $△ C O D$ da: $A O = O C$ , $∠ A = ∠ C = 90^{\circ}$ , $∠ A O B = ∠ C O D$ (vertikal burchaklar) — ikkinchi alomat bo‘yicha teng, demak $A B = C D$ . $C D$ ni quruqlikda o‘lchaymiz.

Model haqida

Birinchi pog‘onada uchlar butun koordinatali tugunlarga «yopishadi», burchaklar gradusgacha yaxlitlab ko‘rsatiladi — shuning uchun teng tomonli uchburchakni panjarada aniq yasab bo‘lmaydi (u animatsiyada ko‘rsatiladi). Ustma-ust qo‘yish — ko‘rgazmali model; 10-sinfda alomatlar aksiomalardan qat’iy isbotlanadi (geometriyaning mantiqiy tuzilishi). Ikki tomon va ular orasida bo‘lmagan burchak uchburchakni aniqlamaydi — bunday «alomat» yo‘q. Daryo masalasida qirg‘oq to‘g‘ri chiziq deb olingan.

Bilasizmi?

Evklidning «Negizlar» asarida (miloddan avvalgi III asr) uchburchaklar tengligining alomatlari I kitobning 4-, 8- va 26-teoremalari; teng yonli uchburchak haqidagi 5-teorema o‘rta asrlarda «eshaklar ko‘prigi» (pons asinorum) nomini olgan.
Ko‘prik fermalarining eng keng tarqalgan turi — Uorren fermasi: uni 1848-yilda britaniyalik muhandislar Jeyms Uorren va Uilobi Monzani patentlagan; ferma teng tomonli yoki teng yonli uchburchaklar qatoridan iborat.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.