Matematika · Planimetriya · 7-sinf

Sirkul va chizg‘ich

Shkalasiz chizg‘ich va sirkul bilan burchakni teng ikkiga, kesmani o‘rtasidan qanday bo‘lasiz?

Vaziyat

Duradgorning qo‘lida faqat sirkul va shkalasiz chizg‘ich: u teng kesma qo‘yadi, burchakni teng ikkiga bo‘ladi, taxtaga perpendikulyar tushiradi — o‘lchamasdan, lekin aniq. Qadimgi yunonlar butun geometriyani shu ikki asbob bilan qurgan. Ikki yoy kesishgan nuqta nega aynan kerakli nuqta bo‘ladi? To‘rtta asosiy yasashdan uchburchak, parallelogramm, kvadrat va hatto «o‘rta proporsional» kesma qanday quriladi?

Mavzu

Sirkul va chizg‘ich bilan yasash: kesma, burchak, bissektrisa, perpendikulyar, uchburchak va to‘rtburchak. Duradgorning sirkuli va ipi: teng kesma qo‘yish, burchakni ikkiga bo‘lish, perpendikulyar tushirish, uchburchakni uch tomoni bo‘yicha yasash

Asosiy tushunchalar

Yasash
Bissektrisa
O‘rta perpendikulyar

Formulalar

P Q = A B

Teng kesma: sirkulni $A B$ ga ochib, nurda $P$ dan yoy chizamiz — ochilish saqlangani uchun $P Q = A B$ .

△ O M K = △ O N K \Rightarrow ∠ M O K = ∠ K O N

Bissektrisa: $O M = O N$ , $M K = N K$ (teng yoylar), $O K$ — umumiy: uchinchi alomat bo‘yicha uchburchaklar teng, burchaklar teng.

P A = P B, Q A = Q B \Rightarrow P Q ⟂ A B, A O = O B

O‘rta perpendikulyar: $A$ va $B$ dan teng yoylar kesishgan $P$ , $Q$ nuqtalar $A$ va $B$ dan teng uzoqlikda — $P Q$ to‘g‘ri chiziq $A B$ ga perpendikulyar va uni teng ikkiga bo‘ladi.

C H = \sqrt{a \cdot b}

O‘rta proporsional: diametri $a + b$ bo‘lgan yarim aylanada tutashish nuqtasidan ko‘tarilgan perpendikulyar $C H^{2} = A H \cdot H B$ ni beradi.

Nazariya

Asboblar va qoida

Yasashda sirkul faqat ikki ish qiladi: berilgan markaz va radius bilan aylana (yoy) chizadi va kesmaning uzunligini «ochilishida» ko‘chiradi. Chizg‘ich shkalasiz: ikki nuqta orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazadi, xolos. O‘lchash yo‘q — shuning uchun natija aniq va isbotlanadigan. 3-sinfda sirkul bilan aylana va olti bargli naqsh chizgansiz: ochilishni o‘zgartirmay ignani aylana ustiga qo‘yib chiqilsa, yoylar aynan olti marta sig‘adi (radius aylanaga olti marta qo‘yiladi).

Teng kesma, burchakni ko‘chirish, bissektrisa

Teng kesma: sirkulni $A B$ ga ochib, nurda $P$ dan yoy — $P Q = A B$ . Burchakni ko‘chirish: $O$ dan yoy tomonlarni $M$ , $N$ da kesadi; o‘sha radius bilan $O_{1}$ dan yoy — $M_{1}$ ; sirkulni $M N$ ga ochib $M_{1}$ dan yoy — $N_{1}$ . $△ O M N$ va $△ O_{1} M_{1} N_{1}$ uch tomoni bo‘yicha teng, demak burchaklar teng. Bissektrisa: $M$ va $N$ dan teng yoylar $K$ da kesishadi; $△ O M K = △ O N K$ (uchinchi alomat) — $O K$ burchakni teng ikkiga bo‘ladi. Har bir yasashning «nega to‘g‘ri»si — uchburchaklar tengligi.

Perpendikulyar va o‘rta perpendikulyar

Nuqtadan chiziqqa perpendikulyar: $P$ dan yoy chiziqni $M$ , $N$ da kesadi; $M$ va $N$ dan teng yoylar — $Q$ ; $P Q ⟂ l$ ( $P$ ham, $Q$ ham $M$ va $N$ dan teng uzoqlikda). Chiziqdagi nuqtada perpendikulyar: nuqtadan ikki tomonga teng kesma qo‘yib, o‘sha usul. O‘rta perpendikulyar: $A$ va $B$ dan radiusi $\frac{A B}{2}$ dan katta teng yoylar $P$ va $Q$ da kesishadi; $P Q$ chiziq $A B$ ni $O$ o‘rta nuqtada to‘g‘ri burchak ostida kesadi. Shu bilan kesmani teng ikkiga bo‘lish ham, kesmaning o‘rtasini topish ham hal bo‘ladi.

Uchburchak va to‘rtburchaklar

Uchburchak uchta elementdan quriladi — aynan tenglik alomatlari qancha ma’lumot yetarli ekanini aytadi: uch tomon (yoylar kesishmasi), ikki tomon va burchak (burchakni ko‘chirib, nurda tomonni qo‘yamiz), tomon va ikki burchak (ikki nur kesishmasi), katet va gipotenuza (perpendikulyar, katet, gipotenuza radiusli yoy — 8-sinf). Parallel chiziq — mos burchakni ko‘chirish bilan; parallelogramm — burchak, ikki tomon va qarama-qarshi tomonlar tengligi; kvadrat — perpendikulyar va to‘rt teng tomon.

Murakkab yasashlar

O‘rta proporsional kesma (9-sinf): $A H = a$ , $H B = b$ ni bir chiziqqa qo‘yamiz, $A B$ ga diametr sifatida yarim aylana chizamiz, $H$ da perpendikulyar yarim aylanani $C$ da kesadi. Diametrga tiralgan burchak to‘g‘ri, to‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga tushirilgan balandlik $C H^{2} = A H \cdot H B$ — demak $C H = \sqrt{a b}$ : $a = 2$ , $b = 8$ uchun $C H = 4$ . Gomotetiya (o‘xshash ko‘pburchak): $O$ markazdan uchlar orqali nurlar, har birida masofani $k$ marta qo‘yamiz — hosil bo‘lgan ko‘pburchak berilganiga $k$ koeffitsiyent bilan o‘xshash.

Model haqida

Ekranda yoylar sirkul bilan chiziladi, nuqtalarni esa siz qo‘yasiz: nuqta kesishish joyiga yaqin kelganda unga «yopishadi» (haqiqiy chizmada bu — qalam uchi bilan aniq belgilash). Chizg‘ich shkalasiz: uzunliklar faqat sirkul bilan ko‘chiriladi; o‘lchov maydonlardagi sonlar chizmani tekshirish uchun. Haqiqiy chizmada har yasash ± 0,5 mm xato beradi; ekranda hisob aniq. Hamma masalani sirkul-chizg‘ich bilan yechib bo‘lmaydi: burchakni teng uchga bo‘lish yoki doiraga teng kvadrat yasash mumkin emas (bu XIX asrda isbotlangan).

Bilasizmi?

Evklid «Negizlar»ining dastlabki uch postulati aynan chizg‘ich va sirkul ishini ta’riflaydi: ikki nuqta orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazish, uni davom ettirish va berilgan markaz hamda radius bilan aylana chizish.
Burchakni teng uchga bo‘lish va kubni ikkilantirish sirkul-chizg‘ich bilan mumkin emasligini 1837-yilda fransuz matematigi Pyer Vantsel isbotlagan; doiraga teng kvadrat yasash mumkin emasligi 1882-yilda (Lindeman, π ning transsendentligi) aniq bo‘lgan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.