Matematika · Planimetriya · 7-sinf

Nuqta, kesma, burchak

Ikki ko‘cha kesishganda nega qarama-qarshi burchaklar doim teng?

Vaziyat

Shahar xaritasida ikki ko‘cha kesishadi — to‘rtta burchak hosil bo‘ladi, va qarama-qarshi burchaklar negadir doim bir xil. Uy bilan maktab orasidagi masofa — bu kesma uzunligi, do‘kon esa yo‘lda, ikkisining orasida. Temir yo‘l ko‘chani to‘g‘ri burchak ostida kesib o‘tadi. Geometriya aynan shu oddiy narsalardan boshlanadi: nuqta, to‘g‘ri chiziq, kesma, burchak. Ularni qanday o‘lchaymiz, taqqoslaymiz va «qarama-qarshi burchaklar teng» ekanini qanday isbotlaymiz?

Mavzu

Geometriyaning boshlanishi: nuqta, to‘g‘ri chiziq, kesma, burchak, qo‘shni va vertikal burchaklar, perpendikulyar. Xaritadagi ko‘chalar va temir yo‘l kesishmasi: kesmalarni o‘lchash, burchaklarni taqqoslash, qo‘shni va vertikal burchaklar

Asosiy tushunchalar

Kesma va burchak
Qo‘shni va vertikal burchaklar
Perpendikulyar

Formulalar

A C + C B = A B

Kesmaning uzunligi — uning qismlari uzunliklari yig‘indisi ( $C$ nuqta $A B$ kesmada yotganda).

∠ A O M = ∠ M O B = \frac{1}{2} ∠ A O B

Bissektrisa $O M$ burchakni teng ikkiga bo‘ladi.

∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}

Qo‘shni burchaklarning yig‘indisi $180^{\circ}$ : bitta tomoni umumiy, qolgan ikkitasi bir to‘g‘ri chiziqda.

∠ 1 = ∠ 3

Vertikal burchaklar teng: ikkalasi ham $∠ 2$ ni $180^{\circ}$ gacha to‘ldiradi.

a ⟂ b \Leftrightarrow ∠ (a, b) = 90^{\circ}

Perpendikulyar chiziqlar to‘g‘ri burchak ostida kesishadi; nuqtadan chiziqqacha masofa — perpendikulyar uzunligi.

Nazariya

Nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik

Geometriyaning eng sodda shakllari — nuqta va to‘g‘ri chiziq — ta’riflanmaydi, ularning xossalari aksiomalar bilan beriladi: har qanday ikki nuqta orqali bitta va faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi. Bundan kelib chiqadi: ikki turli to‘g‘ri chiziq ko‘pi bilan bitta umumiy nuqtaga ega (ikki umumiy nuqtasi bo‘lsa, ular bitta chiziq bo‘lar edi). Barcha shakllar tekislikda yotadi (planimetriya). To‘g‘ri chiziqning nuqtadan bir tomonga ketgan qismi — nur, ikki nuqta orasidagi qismi — kesma. Birinchi pog‘onada nuqtalarni surib ko‘ring: to‘g‘ri chiziq doim ular orqali o‘tadi, ikkinchi chiziq esa u bilan ko‘pi bilan bir nuqtada kesishadi.

Kesmani o‘lchash va taqqoslash

Kesma uzunligi o‘lchov birligi bilan (sm, m, km) o‘lchanadi: chizg‘ichning noli $A$ ga qo‘yiladi, $B$ qarshisidagi son — $A B$ uzunligi. Agar $C$ nuqta $A B$ kesmada yotsa, $A C + C B = A B$ . Ikki kesmani ustma-ust qo‘yib taqqoslaydilar: qaysi biri ichida qolsa, o‘sha kichik. Kesmani teng ikkiga bo‘luvchi nuqta — o‘rta nuqta: $A M = M B = \frac{1}{2} A B$ . Ikkinchi pog‘onada $C$ ni suring — $A C$ va $C B$ o‘zgaradi, yig‘indi esa doim $A B$ .

Burchak va gradus

Burchak — bir nuqtadan (uchidan) chiqqan ikki nur (tomonlar). Burchak gradus bilan o‘lchanadi: $1^{\circ}$ — yoyiq burchakning $\frac{1}{180}$ qismi. Transportir: markazi — burchak uchida, nol chizig‘i — bir tomonda, ikkinchi tomon shkalada gradusni ko‘rsatadi. Burchaklarni ustma-ust qo‘yib taqqoslaydilar: uchi uchiga, bir tomoni tomoniga — ikkinchi tomoni ichida qolgan burchak kichik. Bissektrisa — burchakni teng ikkiga bo‘luvchi nur.

Burchak turlari, qo‘shni va vertikal burchaklar

$90^{\circ}$ dan kichik burchak o‘tkir, $90^{\circ}$ — to‘g‘ri, $90^{\circ}$ dan katta va $180^{\circ}$ dan kichik — o‘tmas, $180^{\circ}$ — yoyiq. Ikki burchakning bir tomoni umumiy, qolgan ikki tomoni bir to‘g‘ri chiziqni tashkil qilsa, ular qo‘shni: yig‘indisi $180^{\circ}$ . Bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarining davomi bo‘lsa, ular vertikal. Teorema: vertikal burchaklar teng. Isbot: $∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ va $∠ 3 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ (ikkalasi qo‘shni), demak $∠ 1 = 180^{\circ} - ∠ 2 = ∠ 3$ .

Perpendikulyar chiziqlar va masofa

To‘g‘ri burchak ostida kesishuvchi chiziqlar perpendikulyar: $a ⟂ b$ . Bitta chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan ikki chiziq kesishmaydi (ikkalasi ham u bilan $90^{\circ}$ hosil qiladi — ular parallel). Nuqtadan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar nuqtani chiziq bilan tutashtiruvchi barcha kesmalardan eng qisqasi — shuning uchun uning uzunligi nuqtadan chiziqqacha masofa deyiladi. Beshinchi pog‘onada $Q$ ni suring: $Q \neq H$ bo‘lganda $P Q$ doim $P H$ dan uzun.

Geometriyaning mantiqiy tuzilishi va model haqida

Geometriya zanjir kabi quriladi: ta’rif (yangi tushuncha nomlanadi) → aksioma (isbotsiz qabul qilinadigan dastlabki haqiqat) → teorema (isbotlanishi kerak bo‘lgan tasdiq) → isbot (aksiomalar va avvalgi teoremalarga tayangan mulohazalar zanjiri). Shu tuzilish 10-sinfda planimetriyani tizimli takrorlashda qayta ko‘riladi. Modelning chegaralari: chizmada burchaklar butun gradusgacha (ko‘chalar burchagi — $5^{\circ}$ qadam bilan), uzunliklar 0,5 sm gacha yaxlitlab ko‘rsatiladi; to‘g‘ri chiziq va nur cheksiz, ekranda esa chetgacha chiziladi; «xaritadagi ko‘chalar» ideal to‘g‘ri chiziq deb olinadi.

Bilasizmi?

Evklidning «Negizlar» asari (mil. av. taxminan 300-yil) 23 ta ta’rif va 5 ta postulatdan boshlanadi; birinchi ta’rif: «Nuqta — qismi bo‘lmagan narsa».
To‘la aylananing 360 ga bo‘linishi Bobil astronomlarining 60 lik sanoq sistemasidan meros deb hisoblanadi. Burchakning yana bir birligi — radian: to‘la aylana $2 π \approx 6,28$ radian.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.