Математика · Планиметрия · 7 класс

Равенство треугольников

Почему мостовая ферма собрана из треугольников? Сколько данных определяют треугольник?

Ситуация

Мостовая ферма, растяжки столба и решётка ворот — всё собрано из треугольников. Четырёхугольник на шарнирах при толчке перекашивается, а треугольник не сдвигается с места: треугольник с известными тремя сторонами только один. Сколько данных полностью определяют треугольник — две стороны и угол, сторона и два угла или три стороны? Это и есть признаки равенства; с их помощью можно измерить ширину реки, не переходя её.

Тема

Треугольники: виды, элементы, признаки равенства, свойства равнобедренного треугольника. Ферма моста и растяжки столба: почему треугольник жёсткий? Признаки равенства — сколько данных определяют треугольник

Ключевые понятия

Признаки равенства
Равнобедренный треугольник
Твёрдость

Формулы

△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении совпадают: их соответственные стороны и соответственные углы равны.

A B = A_{1} B_{1}, A C = A_{1} C_{1}, ∠ A = ∠ A_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

A B = A_{1} B_{1}, ∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

A B = A_{1} B_{1}, B C = B_{1} C_{1}, A C = A_{1} C_{1} \Rightarrow △ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}

Третий признак: по трём сторонам — поэтому треугольник жёсткий.

A B = B C \Rightarrow ∠ A = ∠ C

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; биссектриса, проведённая из вершины, является и медианой, и высотой.

Теория

Элементы и виды

Вершины треугольника $A, B, C$ , стороны $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ (сторона называется буквой противолежащей вершины) и углы $α, β, γ$ . Периметр $P = a + b + c$ . По сторонам: разносторонний, равнобедренный (две боковые стороны равны, третья — основание), равносторонний (все три стороны равны). По углам: остроугольный (все три угла меньше $90^{\circ}$ ), прямоугольный (один угол $90^{\circ}$ : катеты и гипотенуза), тупоугольный (один угол больше $90^{\circ}$ ). На первой ступени двигайте вершины — название вида меняется.

Равные треугольники и первый признак

Два треугольника называются равными, если при наложении они совпадают — тогда их соответственные стороны и соответственные углы равны. Проверять всё не обязательно: первый признак — треугольники равны, если две стороны и угол между ними соответственно равны. Идея доказательства — наложение: совмещаем $A_{1}$ с $A$ , луч $A_{1} B_{1}$ — с лучом $A B$ ; так как $A_{1} B_{1} = A B$ , точка $B_{1}$ попадает в $B$ ; так как углы равны, луч $A_{1} C_{1}$ ложится на $A C$ , а из $A_{1} C_{1} = A C$ следует, что точка $C_{1}$ попадает в $C$ . На третьей ступени показано именно это перемещение.

Свойства равнобедренного треугольника

Если $A B = B C$ , то $B$ — вершина, $A C$ — основание. Углы при основании равны: $∠ A = ∠ C$ . Доказательство: проведём из $B$ биссектрису $B D$ ; в $△ A B D$ и $△ C B D$ имеем $A B = C B$ , $B D$ — общая сторона, $∠ A B D = ∠ C B D$ — по первому признаку они равны, значит $∠ A = ∠ C$ . Из этого же равенства следует $A D = D C$ и $∠ A D B = ∠ C D B = 90^{\circ}$ : биссектриса является и медианой, и высотой. Верно и обратное: треугольник с двумя равными углами равнобедренный. В равностороннем треугольнике все три угла равны $60^{\circ}$ .

Второй и третий признаки

Второй признак: треугольники равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого. Почему: лучи, выходящие из концов стороны $A B$ под заданными углами, пересекаются только в одной точке — там и находится третья вершина. Третий признак: треугольники равны, если три стороны одного соответственно равны трём сторонам другого: дуги радиуса $b$ с центром в $A$ и радиуса $a$ с центром в $B$ пересекаются по одну сторону от $A B$ в одной точке (вторая точка — её зеркальное отражение). Поэтому треугольник жёсткий: четырёхугольник на шарнирах перекашивается, а треугольник нет. Если дуги не пересекаются ( $a + b \leq c$ или $| a - b | \geq c$ ), треугольника не существует — это неравенство треугольника (эксперимент «Углы треугольника»).

Применение: ширина реки

Нужно найти расстояние от точки $A$ на берегу до дерева $B$ на противоположном берегу. Отметим вдоль берега точки $O$ и $C$ так, чтобы $A O = O C$ , и пойдём от $C$ перпендикулярно берегу до точки $D$ , из которой колышек $O$ и дерево $B$ видны на одной прямой. В $△ A O B$ и $△ C O D$ : $A O = O C$ , $∠ A = ∠ C = 90^{\circ}$ , $∠ A O B = ∠ C O D$ (вертикальные углы) — по второму признаку они равны, значит $A B = C D$ . $C D$ измеряем на суше.

О модели

На первой ступени вершины «прилипают» к узлам с целыми координатами, а углы показаны с округлением до градусов — поэтому равносторонний треугольник на сетке точно построить нельзя (он показан в анимации). Наложение — наглядная модель; в 10 классе признаки строго доказываются из аксиом (логическая структура геометрии). Две стороны и угол, не лежащий между ними, треугольник не определяют — такого «признака» нет. В задаче про реку берег принят за прямую.

Знаете ли вы?

В «Началах» Евклида (III век до н. э.) признаки равенства треугольников — теоремы 4, 8 и 26 книги I; теорема 5 о равнобедренном треугольнике в Средние века получила название «мост ослов» (pons asinorum).
Самый распространённый тип мостовых ферм — ферма Уоррена: её запатентовали в 1848 году британские инженеры Джеймс Уоррен и Уилоби Монцани; ферма состоит из ряда равносторонних или равнобедренных треугольников.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.