Математика · Планиметрия · 8 класс

Теорема Пифагора

На какую высоту стены достанет лестница? Поместится ли палка в коробку?

Ситуация

Электрик приставил к стене лестницу длиной 5 метров: нижний конец в 3 метрах от стены. На какую высоту стены достанет лестница? Рулеткой мерить не нужно — если в прямоугольном треугольнике известны две стороны, третья вычисляется. Как и почему именно так? Мы сосчитаем клетки, докажем теорему, двигая треугольники, а затем применим её к расстоянию на карте и диагонали коробки.

Тема

Теорема Пифагора и её применение. Лестница и стена, плотницкая верёвка 3-4-5, расстояние на карте и диагональ коробки

Ключевые понятия

Прямоугольный треугольник
Катеты и гипотенуза
Доказательство

Формулы

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}

Если известны две стороны, находится третья (лестница: $\sqrt{25 - 9} = 4$ м).

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Расстояние между двумя точками координатной плоскости — гипотенуза треугольника с катетами $| x_{2} - x_{1} |$ и $| y_{2} - y_{1} |$ .

D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Диагональ прямоугольного параллелепипеда: теорема применяется дважды (диагональ основания, затем высота).

Теория

Как называются стороны

В прямоугольном треугольнике стороны, прилежащие к прямому углу, — катеты ( $a$ , $b$ ), самая длинная сторона напротив него — гипотенуза ( $c$ ). Теорема: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . На первой ступени вы увидите это на клетках: $3^{2} = 9$ и $4^{2} = 16$ клеток вместе дают $25 = 5^{2}$ клеток. Даже когда клетки квадратов пересчитать нельзя (например, $c = \sqrt{13}$ ), равенство сохраняется — это показывает доказательство.

Доказательство 1: перекладывание

В большой квадрат со стороной $a + b$ укладываем четыре одинаковых прямоугольных треугольника. При одной укладке между ними остаётся квадрат со стороной $c$ ; сдвигая треугольники, при второй укладке получаем два квадрата — $a^{2}$ и $b^{2}$ . Большой квадрат и четыре треугольника те же самые, значит, оставшиеся площади равны: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . В этом доказательстве нет никаких вычислений — только сохранение площади.

Доказательство 2: подобные треугольники

Из вершины прямого угла опускаем на гипотенузу высоту. Получившиеся два малых треугольника подобны большому (углы те же). Из подобия $\frac{b}{c} = \frac{c_{1}}{b}$ , то есть $b^{2} = c \cdot c_{1}$ , и так же $a^{2} = c \cdot c_{2}$ . Складывая, получаем $a^{2} + b^{2} = c (c_{1} + c_{2}) = c \cdot c = c^{2}$ . Подвигайте вершину треугольника — доказательство работает для любого прямоугольного треугольника.

Обратная теорема и тройки

Если стороны треугольника удовлетворяют $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , то угол напротив $c$ — прямой. Поэтому верёвка с 12 узлами (3 + 4 + 5) даёт при строительстве прямой угол. Такие треугольники с целыми сторонами — пифагоровы тройки: 3-4-5 и кратные ей (6-8-10 …), но есть и другие — найдите их на четвёртой ступени. Все тройки даёт формула $m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2}$ ( $m > n$ — натуральные числа).

Расстояние и диагональ

Расстояние между точками $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ на координатной плоскости — гипотенуза треугольника с катетами $| x_{2} - x_{1} |$ и $| y_{2} - y_{1} |$ : $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ . В пространстве теорема применяется дважды: диагональ основания коробки $d_{1} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , затем по $d_{1}$ и высоте $c$ получаем $D = \sqrt{d_{1}^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ . В коробку 40 × 30 × 50 см помещается палка в 70 см: $D \approx 70,7$ см.

О модели

На чертежах стороны заданы целыми или десятичными числами, вычисления точные: иррациональные значения вроде $\sqrt{2}$ показаны округлёнными (два знака после запятой). Палка в коробке считается нулевой толщины — для настоящей палки нужен запас ещё в несколько миллиметров.

Знаете ли вы?

Вавилонская глиняная табличка «Плимптон 322» (ок. 1800 г. до н. э.) содержит таблицу пифагоровых троек — более чем за тысячу лет до Пифагора.
У теоремы сотни доказательств: в книге Элиши Лумиса «The Pythagorean Proposition» (издание 1940 года) собрано 370 доказательств; одно из них принадлежит президенту США Дж. Гарфилду.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.