Математика · Планиметрия · 7 класс

Углы треугольника

Почему, если оторвать три угла треугольника и приложить их друг к другу, всегда получается развёрнутый угол?

Ситуация

Если оторвать три угла бумажного треугольника и сложить их вершинами в одной точке, то какой бы ни был треугольник, получится развёрнутый угол. Прямая дорога из Ташкента в Бухару всегда короче окольной через Самарканд — три города на карте образуют треугольник. Почему сумма углов всегда равна 180°, почему против большей стороны лежит больший угол и из каких трёх отрезков можно построить треугольник?

Тема

Сумма углов треугольника, прямоугольный треугольник, свойство биссектрисы, соотношение между сторонами и углами, неравенство треугольника. Отрываем углы бумажного треугольника и прикладываем рядом — 180°; дорога между тремя городами — неравенство треугольника

Ключевые понятия

Сумма углов 180°
Прямоугольный треугольник
Неравенство треугольника

Формулы

α + β + γ = 180^{\circ}

Сумма внутренних углов треугольника — развёрнутый угол. Доказательство: прямая, проведённая через вершину параллельно основанию, и накрест лежащие углы.

∠ C B D = α + γ

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (и больше каждого из них).

α + β = 90^{\circ}, a = \frac{c}{2} (α = 30^{\circ})

Прямоугольный треугольник: сумма острых углов равна $90^{\circ}$ ; катет, лежащий против угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы (и обратно).

M K = M L, M K ⟂ O A, M L ⟂ O B

Свойство биссектрисы: точка $M$ на биссектрисе равноудалена от сторон угла; верно и обратное — точка, равноудалённая от сторон, лежит на биссектрисе.

a < b + c, b < a + c, c < a + b

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Против большей стороны лежит больший угол.

Теория

Сумма углов и внешний угол

В любом треугольнике $α + β + γ = 180^{\circ}$ . Доказательство: проведём через вершину $C$ прямую, параллельную $A B$ ; внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и секущими $A C$ , $B C$ , равны, поэтому три угла при $C$ составляют развёрнутый угол. Внешний угол — угол, смежный с внутренним: $∠ C B D = 180^{\circ} - β = α + γ$ . На первом шаге двигайте $C$ : углы меняются, а сумма всегда равна $180^{\circ}$ .

Прямоугольный треугольник

Если один из углов равен $90^{\circ}$ , то два других острые и их сумма равна $90^{\circ}$ . Катет против угла $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы: если отразить треугольник относительно катета, получится равнобедренный, а точнее равносторонний треугольник с углом при вершине $60^{\circ}$ , его сторона $2 a = c$ . Обратное: если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол $30^{\circ}$ . Признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.

Свойство биссектрисы

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла: если $M K ⟂ O A$ , $M L ⟂ O B$ , то $M K = M L$ . Доказательство: у прямоугольных треугольников $O M K$ и $O M L$ общая гипотенуза $O M$ и равные острые углы (биссектриса) — они равны по гипотенузе и острому углу. Обратное: точка внутри угла, равноудалённая от сторон, лежит на биссектрисе. На четвёртом шаге двигайте $M$ : сойдя с биссектрисы, вы увидите, что расстояния различаются.

Соотношение сторон и углов

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Доказательство: пусть $A C > A B$ ; на $A C$ возьмём точку D так, что $A D = A B$ . Треугольник $A B D$ равнобедренный: $∠ A B D = ∠ A D B$ . $∠ A D B$ — внешний угол треугольника $B D C$ , значит, $∠ A D B > ∠ C$ ; а $∠ A B C > ∠ A B D$ . Таким образом, $∠ B > ∠ C$ . Следствие: в прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона; против равных сторон лежат равные углы.

Неравенство треугольника

Каждая сторона меньше суммы двух других: $c < a + b$ . На карте прямая дорога всегда короче окольной. Чтобы построить треугольник из трёх отрезков, должны выполняться все три неравенства: на шестом шаге дуги циркуля пересекаются только в этом случае. Краткая запись: $| a - b | < c < a + b$ . Если даны две стороны, третья — любое число из этого промежутка.

О модели

Углы показаны с точностью до десятой доли градуса, длины округлены; вершины двигаются с шагом 0,5 ед. Расстояния между городами — по прямой (по воздуху), а не фактическая длина дороги; они приближённо вычислены по географическим координатам городов. Считается, что при «отрывании» бумажных частей треугольник не меняется.

Знаете ли вы?

То, что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , доказано в «Началах» Евклида (около 300 г. до н. э.) как предложение 32 книги I — вместе с утверждением о внешнем угле.
На сфере сумма углов треугольника больше $180^{\circ}$ : на земном шаре у треугольника, образованного экватором и двумя меридианами, оба угла при экваторе равны $90^{\circ}$ — сумма превышает $180^{\circ}$ на величину угла при полюсе.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.