Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 8 класс

Квадратное уравнение: парабола

Площадь приусадебного участка 40 м², периметр 26 м. Чему равны стороны?

Ситуация

Площадь приусадебного участка дехканина 40 м², ограда вокруг него 26 м. Чему равны стороны? Если ширина x, то длина 13 − x, площадь x(13 − x) = 40 — это квадратное уравнение x² − 13x + 40 = 0. Более 1200 лет назад в Багдаде аль-Хорезми решал такие уравнения, «дополняя» квадрат. Мы тоже дополним, а затем придём к дискриминанту и теореме Виета.

Тема

Квадратное уравнение: неполные уравнения, выделение полного квадрата, дискриминант, теорема Виета, биквадратное уравнение, задачи. Приусадебный участок площадью 40 м² и периметром 26 м: построение полного квадрата по аль-Хорезми; дискриминант говорит о числе корней

Ключевые понятия

Дискриминант
Полный квадрат
Теорема Виета

Формулы

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0

Стандартный вид квадратного уравнения: $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член. Корни — точки пересечения параболы $y = a x^{2} + b x + c$ с осью $x$ .

x^{2} + b x = c \Rightarrow {(x + \frac{b}{2})}^{2} = c + \frac{b^{2}}{4}

Выделение полного квадрата (способ аль-Хорезми): к квадрату и двум равным прямоугольникам добавляется квадрат в углу.

D = b^{2} - 4 a c, x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

Дискриминант и формула корней: $D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — действительных корней нет.

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Теорема Виета: сумма и произведение корней читаются по коэффициентам; $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Теория

Квадратное уравнение и его корни

$a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) — квадратное уравнение. Его корень — число, обращающее уравнение в верное равенство. На графике $y = a x^{2} + b x + c$ — парабола; корни — точки, где парабола пересекает ось $x$ . Парабола может пересечь ось в двух точках, коснуться её в одной точке или вообще не пересечь — поэтому корней 2, 1 или 0. В задаче про участок из $x (13 - x) = 40$ получается $x^{2} - 13 x + 40 = 0$ : корни 5 и 8.

Неполные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$ , уравнение неполное. $a x^{2} + b x = 0$ — $x$ выносится за скобку: $x (a x + b) = 0$ , значит $x = 0$ или $x = - b / a$ (парабола проходит через начало координат). $a x^{2} + c = 0$ — $x^{2} = - c / a$ : если правая часть положительна, $x = \pm \sqrt{- c / a}$ , если отрицательна — корней нет (квадрат не может быть отрицательным). $a x^{2} = 0$ — единственный корень $x = 0$ , вершина параболы лежит на оси.

Полный квадрат: аль-Хорезми

$x^{2} + 10 x = 39$ : квадрат со стороной $x$ и прямоугольник площадью $10 x$ . Разделим прямоугольник пополам ( $5 x$ и $5 x$ ) и приставим к двум сторонам квадрата — в углу не хватает клетки $5 \times 5$ . Прибавим её к обеим частям: ${(x + 5)}^{2} = 39 + 25 = 64$ , значит $x + 5 = 8$ , $x = 3$ . В общем виде: из $x^{2} + b x = c$ получаем ${(x + b / 2)}^{2} = c + b^{2} / 4$ . Аль-Хорезми брал только положительный корень; сегодня из $x + 5 = - 8$ корнем считают и $x = - 13$ .

Дискриминант и формула

Выполнив метод полного квадрата в общем виде, из $a x^{2} + b x + c = 0$ получаем ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . Выражение $D = b^{2} - 4 a c$ в правой части — дискриминант («различающий»): при $D > 0$ два корня $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ , при $D = 0$ один корень $x = - \frac{b}{2 a}$ (парабола касается оси), при $D < 0$ действительных корней нет (парабола не пересекает ось). Если $b$ чётное, вычисления сокращаются с $D_{1} = {(b / 2)}^{2} - a c$ .

Теорема Виета, биквадратные уравнения, задачи

Если корни $x_{1}$ , $x_{2}$ , то $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; раскрыв скобки, получаем теорему Виета: $x_{1} + x_{2} = - b / a$ , $x_{1} x_{2} = c / a$ . В приведённом уравнении ( $a = 1$ ) корни часто можно найти устно: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ — сумма 5, произведение 6: это 2 и 3. В биквадратном уравнении $x^{4} + p x^{2} + q = 0$ замена $t = x^{2}$ даёт квадратное уравнение; каждое положительное $t$ даёт два корня $\pm \sqrt{t}$ . Задачи: площадь и периметр (участок), движение — если скорость увеличить на 10 км/ч, на путь 60 км уйдёт на 1 час меньше: $\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 1$ , отсюда $v^{2} + 10 v - 600 = 0$ , $v = 20$ .

О модели

На ступенях коэффициенты — целые числа; если корни дробные или иррациональные, в формуле показан точный вид (дробь, $\sqrt{D}$ ) и значение, округлённое с «≈». График показан от $- 6$ до $6$ — корни за этими пределами на оси не видны, но в формуле они есть. В задаче про участок сторона не может быть отрицательной, поэтому смысл имеют только положительные корни; на чертеже аль-Хорезми тоже виден только положительный корень.

Знаете ли вы?

Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (ок. 780–850) работал в багдадском «Доме мудрости»; в его труде «Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр валь-мукабала» (ок. 820–830) уравнение $x^{2} + 10 x = 39$ решено чертежом дополнения квадрата. Слово «алгебра» происходит от «аль-джабр» в названии этой книги.
Франсуа Виет (1540–1603) — французский юрист и математик — в сочинении «In artem analyticem isagoge» (1591) ввёл обозначение неизвестных и известных величин буквами; связь между корнями и коэффициентами названа его именем.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс