Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Линейное уравнение: весы

Чаши равны: 3 мешка + 4 кг = 2 мешка + 13 кг. Сколько кг в одном мешке?

Ситуация

Рынок времён аль-Хорезми. На одной чаше весов 3 одинаковых мешка риса и 4 кг камней, на другой — 2 таких мешка и 13 кг камней: чаши в равновесии. Сколько килограммов в одном мешке риса? Мешки вскрывать и взвешивать не нужно: снимем с чаш одинаковое — равновесие не нарушится, и в конце останутся один мешок и камни. Этот приём больше тысячи лет назад аль-Хорезми назвал «аль-джабр и аль-мукабала».

Тема

Линейное уравнение: корень, модель весов, способ аль-Хорезми, решение задач с помощью уравнения. Весы аль-Хорезми: неизвестные коробки и камни на двух чашах — шаги аль-джабр и аль-мукабала

Ключевые понятия

Уравнение и корень
Аль-джабр и аль-мукабала
Задача → уравнение

Формулы

a x + b = c x + d

Линейное уравнение с одной неизвестной: $x$ — неизвестное, $a, b, c, d$ — заданные числа. Корень — значение $x$ , при котором равенство верно.

a x - c x = d - b \Rightarrow (a - c) x = d - b

Перенос слагаемых: слагаемое переходит из одной части равенства в другую с противоположным знаком (аль-джабр и аль-мукабала).

x = \frac{d - b}{a - c}, a \neq c

Корень. Если $a = c$ : при $b = d$ любое $x$ — корень, при $b \neq d$ корней нет.

\frac{x + 1}{2} = 3 \Rightarrow x + 1 = 6

Дробное уравнение: умножаем обе части на знаменатель — чаши удваиваются, равновесие сохраняется.

Теория

Уравнение и его корень

Равенство с неизвестным числом внутри — уравнение: $3 x + 4 = 2 x + 13$ . Корень уравнения — число, которое при подстановке вместо неизвестного делает равенство верным. При $x = 5$ левая часть $19$ , правая $23$ — не равны; при $x = 9$ обе $31$ — значит, $9$ — корень. Решить уравнение — найти все его корни (или показать, что корней нет). Модель весов это показывает: чаши уравновешиваются лишь тогда, когда вес мешка равен корню.

Аль-Хорезми и его метод

Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (родился в Хорезме, ок. 783–850) работал в багдадском «Доме мудрости». Его труд «Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр валь-мукабала» учит решать уравнения двумя действиями. Аль-джабр («восполнение») — уничтожение вычитаемого слагаемого (долга) добавлением его к обеим частям: из $x - 5 = 2 x - 12$ получаем $x + 7 = 2 x$ . Аль-мукабала («противопоставление») — отбрасывание одинаковых слагаемых в обеих частях: из $x + 7 = 2 x$ получаем $7 = x$ . Аль-Хорезми не пользовался отрицательными числами, поэтому разделил уравнения на шесть видов.

Линейное уравнение и перенос слагаемых

Уравнение, которое после упрощения принимает вид $a x + b = c x + d$ , называется линейным. Правило решения: слагаемые с неизвестным переносим в одну часть, числа — в другую, при этом перенесённое слагаемое меняет знак (это то же самое, что вычесть одинаковое слагаемое из обеих частей): $(a - c) x = d - b$ . Если $a \neq c$ , корень один: $x = \frac{d - b}{a - c}$ . Если $a = c$ , левая часть превращается в $0 \cdot x$ : при $b = d$ получаем $0 = 0$ — корнем является любое $x$ , при $b \neq d$ получаем неверное $0 = d - b$ — корней нет. На весах: число мешков одинаково, камней разное — равновесия не будет никогда.

Уравнения со скобками и дробями

Если есть скобки, сначала раскрываем скобки: из $3 (x + 2) = 5 x - 4$ получаем $3 x + 6 = 5 x - 4$ , затем как обычно. Если есть дроби, умножаем обе части на знаменатель (если их несколько — на общий знаменатель): из $\frac{x + 1}{2} = 3$ получаем $x + 1 = 6$ ; в $\frac{x - 1}{2} = \frac{x + 3}{4}$ общий знаменатель $4$ : $2 (x - 1) = x + 3$ , отсюда $x = 5$ . Если неизвестное стоит в знаменателе (дробно-линейное уравнение, например $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ ), перед умножением знаменатель не должен равняться нулю: найденный корень проверяем при условии $x \neq 1$ , $x \neq - 1$ — это продолжается в эксперименте «Алгебраические дроби».

Решение задач с помощью уравнений

Четыре шага. 1) Выбираем неизвестное — обычно величину, о которой спрашивается в задаче ( $x$ — возраст сына). 2) Остальные величины выражаем через $x$ (отец $x + 24$ , через три года $x + 3$ и $x + 27$ ). 3) По условию задачи составляем уравнение: $x + 27 = 3 (x + 3)$ . 4) Решаем и проверяем ответ по условию задачи: $x = 9$ — через три года $12$ и $36$ , $36 = 3 \cdot 12$ . Линейная (брусковая) модель показывает шаги 2 и 3: полоса отца равна трём полосам сына.

О модели

Весы — объяснительная модель: мешки считаются одинакового веса, камни — точные, трения нет. Отрицательное слагаемое показано «шариком» (долгом), но уравнение с отрицательным корнем весы показать не могут — правило же продолжает работать. Наклон чаш не такой, как у настоящих весов, — он лишь показывает, какая сторона тяжелее. В эксперименте корни показаны целыми или десятичными дробями (два знака).

Знаете ли вы?

Слово «алгебра» происходит от слова «аль-джабр» в названии труда аль-Хорезми «Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр валь-мукабала», написанного в Багдаде около 820 года.
Слово «алгоритм» происходит от латинской формы имени аль-Хорезми — «Algoritmi»: в XII веке его арифметическая книга об индийских цифрах была переведена на латынь.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Выражения: от числа к букве — 7 класс
Одночлены и многочлены — 7 класс
Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс