Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Одночлены и многочлены

Приусадебный участок увеличили на 5 м: из каких частей состоит площадь (x + 3)(x + 5)?

Ситуация

Участок был x метров на (x + 2) метра. Прирезав 3 метра у соседа, мы сделали длину x + 3 метра. Новая площадь — (x + 3)(x + 2). Если её нарисовать, получится четыре части: x², 3x, 2x и 6 — каждая из них отдельный одночлен, а сумма — многочлен. Если части 3x и 2x поставить рядом, получится 5x. Как работать с многочленами: как их складывать, умножать, делить и снова раскладывать на части?

Тема

Одночлены и многочлены: стандартный вид, сложение, вычитание, умножение, деление, разложение на множители. Площадь расширенного участка земли: модель площади (x + 3)(x + 5) — части прямоугольника превращаются в члены многочлена

Ключевые понятия

Стандартный вид
Модель площади
Разложение на множители

Формулы

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}, 2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}

Умножение одночленов: коэффициенты перемножаются, степени одинаковых букв складываются.

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Умножение многочленов — модель площади: каждый член умножается на каждый.

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6

Подобные члены ( $3 x$ и $2 x$ ) объединяются — стандартный вид многочлена.

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3), (x^{2} + 5 x + 6) : (x + 2) = x + 3

Разложение на множители и деление — действия, обратные умножению: от площади к сторонам.

Теория

Одночлен и его стандартный вид

Произведение чисел и букв — одночлен: $3 x^{2} y$ , $- 5 a$ , $7$ . Стандартный вид: коэффициент впереди, каждая буква один раз, со степенью: $x \cdot 3 \cdot y \cdot x = 3 x^{2} y$ . Числовой множитель — коэффициент (3), буквы — буквенная часть. Степень одночлена — сумма показателей степеней всех букв: для $3 x^{2} y$ это $2 + 1 = 3$ .

Умножение и деление одночленов

$2 x \cdot 3 x$ — прямоугольник со сторонами $2 x$ и $3 x$ : 6 клеток $x^{2}$ , значит, $6 x^{2}$ . Правило: коэффициенты перемножаются, показатели степеней одинаковых букв складываются: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ . Деление — обратное действие: показатели вычитаются, $6 x^{2} : 2 x = 3 x$ (площадь $6 x^{2}$ , длина $2 x$ — ширина $3 x$ ); делитель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$ . Чтобы результат был одночленом, коэффициенты должны делиться, а показатели степеней в делимом не должны быть меньше, чем в делителе.

Многочлен, подобные члены, стандартный вид

Сумма одночленов — многочлен: $x^{2} + 3 x + 2 x + 6$ . Члены с одинаковой буквенной частью — подобные члены ( $3 x$ и $2 x$ ); их объединение — приведение подобных: $5 x$ . Многочлен без подобных членов, каждый член которого записан в стандартном виде, — многочлен стандартного вида; обычно члены записывают по убыванию степеней: $x^{2} + 5 x + 6$ . Степень многочлена — наибольшая степень его члена (2).

Сложение, вычитание, умножение

При сложении скобки просто раскрываются; при вычитании каждый член вычитаемого многочлена меняет знак: $(2 x^{2} + 3 x - 1) - (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{2} + 3 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4 = x^{2} + 8 x - 5$ . Умножение — модель площади: прямоугольник $(x + 3) (x + 5)$ состоит из частей $x \cdot x$ , $x \cdot 5$ , $3 \cdot x$ , $3 \cdot 5$ — каждый член умножается на каждый, затем приводятся подобные.

Деление и разложение на множители

Деление многочлена на одночлен — деление каждого члена по отдельности: $(6 x^{2} + 4 x) : 2 x = 3 x + 2$ . Деление многочлена на многочлен — обратная задача в модели площади: если уложить части в прямоугольник длиной $x + 2$ , ширина $x + 3$ — это частное. Разложение на множители — запись многочлена в виде произведения: вынесение общего множителя за скобки ( $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ ), группировка ( $a b + a c + b^{2} + b c = (a + b) (b + c)$ ). Проверка — умножение заново.

О модели

На чертежах $x$ — некоторая длина (на самом деле произвольное число), отрицательные члены условно показаны красными плитками: отрицательной площади не бывает, это лишь знак. Коэффициенты на ползунках — небольшие целые числа; деление показано только для случаев без остатка (деление с остатком — в старших классах). Формулы сокращённого умножения — в отдельном эксперименте.

Знаете ли вы?

Слово «полином» составлено из греческого «poly» (много) и латинского «nomen» (имя, член); по-русски — «многочлен». Двучлен называют биномом, трёхчлен — триномом.
Умножение чисел в столбик — на самом деле умножение многочленов: $23 \cdot 45 = (2 \cdot 10 + 3) (4 \cdot 10 + 5)$ , то есть значение $(2 x + 3) (4 x + 5)$ при $x = 10$ .

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Выражения: от числа к букве — 7 класс
Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс