Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Системы уравнений

2 кг яблок и 3 кг груш — 29 000, 1 кг и 1 кг — 12 000 сум. Какие цены?

Ситуация

На базаре за 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 29 000 сум, за 1 кг яблок и 1 кг груш — 12 000 сум. Сколько стоят яблоки и груши по отдельности? Неизвестных два, но и условий два. Каждое условие — одна прямая на координатной плоскости, а пара, удовлетворяющая обоим, — точка их пересечения. Сначала найдём её по чертежу, потом вычислим точно.

Тема

Система линейных уравнений: графический способ, способы подстановки и сложения, задачи. На рынке 2 кг яблок и 3 кг груш стоят 29 000 сумов, а 1 кг яблок и 1 кг груш — 12 000 сумов: точка пересечения двух прямых — решение

Ключевые понятия

Графический способ
Подстановка
Способ сложения

Формулы

{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решение — пара $(x; y)$ , обращающая в верное равенство оба уравнения.

y = 12 - x \Rightarrow 2 x + 3 (12 - x) = 29

Подстановка: выражаем $y$ из одного уравнения и подставляем в другое — остаётся одно неизвестное.

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \Rightarrow решений нет

Если коэффициенты пропорциональны, прямые параллельны; если пропорциональны и свободные члены — прямые совпадают (бесконечно много решений).

(2 x + 3 y) - 3 (x + y) = 29 - 36 \Rightarrow - x = - 7

Способ сложения: умножаем уравнения так, чтобы при сложении (вычитании) одно неизвестное исчезло.

Теория

Два неизвестных, одно уравнение

Решение уравнения $x + y = 12$ — пара $(x; y)$ : $(0; 12)$ , $(1; 11)$ , $(7; 5)$ , $(2,5; 9,5)$ … — их бесконечно много. На координатной плоскости все они лежат на одной прямой: это график линейной функции $y = 12 - x$ . На первой ступени передвигайте точку вдоль прямой — сумма всегда 12.

Система и графический способ

Второе условие $2 x + 3 y = 29$ — вторая прямая. Пара, удовлетворяющая обоим уравнениям, лежит на обеих прямых, то есть это их точка пересечения: $(7; 5)$ . Возможны три случая: прямые пересекаются — одно решение; параллельны — решений нет; совпадают — бесконечно много. Параллельность видна по коэффициентам: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ . Графический способ показывает ответ, но дробные координаты по чертежу точно не прочитать — поэтому нужны алгебраические способы.

Способ подстановки

Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных: из $x + y = 12$ получаем $y = 12 - x$ . Подставляем это во второе уравнение: $2 x + 3 (12 - x) = 29$ — теперь одно неизвестное, обычное линейное уравнение: $2 x + 36 - 3 x = 29$ , $x = 7$ . Затем $y = 12 - 7 = 5$ . Геометрический смысл: точка движется по первой прямой ( $y$ всегда равно $12 - x$ ) и останавливается, дойдя до второй.

Способ сложения

Умножаем уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одном неизвестном стали равными (или противоположными): умножив $x + y = 12$ на 3, получим $3 x + 3 y = 36$ . Теперь вычтем из второго уравнения: $(2 x + 3 y) - (3 x + 3 y) = 29 - 36$ , то есть $- x = - 7$ , $x = 7$ . Любая такая комбинация уравнений — снова прямая, и она тоже проходит через точку-решение: на четвёртой ступени это показывает пучок прямых.

Решение задач с помощью систем

Два неизвестных обозначим $x$ и $y$ и по двум условиям задачи составим два уравнения. Встречное движение: две машины вместе проехали расстояние 300 км за 2 ч — $2 x + 2 y = 300$ ; разность скоростей 10 км/ч — $x - y = 10$ . Решение: $x = 80$ , $y = 70$ км/ч. Ответ проверяем по условию задачи: $160 + 140 = 300$ . Задачи на цену, смеси и работу решаются так же.

О модели

На чертеже оси идут от $- 1$ до $13,5$ : точка пересечения вне этого окна не видна, но вычисление найдёт её всё равно. Графический способ приближённый: при чтении координат точки по чертежу возможна ошибка, а точный ответ даёт подстановка или сложение. В эксперименте рассматриваются только линейные системы с двумя неизвестными; системы с тремя и более неизвестными решаются теми же способами, но за большее число шагов.

Знаете ли вы?

Идея изображать уравнение линией на координатной плоскости берёт начало в «Геометрии» Рене Декарта, изданной в 1637 году, — поэтому прямоугольные координаты называют ещё «декартовыми координатами».
В древнекитайской «Математике в девяти книгах» (составлена не позднее I века н. э.) восьмая глава решает системы линейных уравнений способом, похожим на современный метод Гаусса.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Выражения: от числа к букве — 7 класс
Одночлены и многочлены — 7 класс
Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс