Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 8 класс

Неравенства: луч и промежуток

Лифт поднимает 630 кг. Сколько человек по 75 кг может в него войти?

Ситуация

Грузовой лифт многоэтажного дома поднимает 630 кг. Сколько человек со средней массой 75 кг могут войти в него одновременно? Ответ — не одно число: подходит любое число от 0 до 8. Это не уравнение, а неравенство. «Не больше 20 ГБ в месяц», «рост отличается от 170 см на 5 см» — это тоже неравенства. Мы научимся решать их с помощью луча, промежутка и расстояния на числовой прямой.

Тема

Числовые неравенства и их свойства, неравенства с одной неизвестной и их системы, числовые промежутки, модуль. Грузоподъёмность лифта и мобильный тариф: «не более» на числовой прямой — это луч и промежуток; |x − a| — расстояние

Ключевые понятия

Числовое неравенство
Числовой промежуток
Модуль — расстояние

Формулы

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Определение числового неравенства: число $a$ больше $b$ , если их разность положительна; на оси $a$ лежит правее.

a > b \Rightarrow a + c > b + c; a c > b c (c > 0), a c < b c (c < 0)

К обеим частям можно прибавить одно и то же число; при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d; a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow a c > b d

Неравенства одного смысла можно почленно складывать; если все части положительны — то и умножать.

| x - a | \leq h \Leftrightarrow a - h \leq x \leq a + h

$| x - a |$ — расстояние от $x$ до $a$ ; точки, расстояние до которых не больше $h$ , образуют отрезок $[a - h; a + h]$ .

Теория

Числовое неравенство

Чтобы сравнить два числа, возьмём их разность: если $a - b > 0$ , то $a > b$ ; если $a - b < 0$ , то $a < b$ ; если разность равна нулю, числа равны. На числовой оси большее число лежит правее: $5 > 2$ , $- 2 > - 5$ . На первом шаге сдвиньте две точки и посмотрите на стрелку, показывающую разность: если она направлена вправо, разность положительна.

Основные свойства

Если к обеим частям прибавить одно и то же число (или вычесть его), точки сдвинутся по оси вместе — порядок не изменится: $a > b \Rightarrow a + c > b + c$ . При умножении на положительное число расстояния растягиваются, порядок сохраняется. При умножении на отрицательное число точки переворачиваются относительно 0 — порядок становится обратным: $5 > 2$ , но $- 10 < - 4$ . Поэтому при делении неравенства на отрицательное число мы меняем знак. И ещё: если $a > b$ и $b > c$ , то $a > c$ (транзитивность).

Сложение, умножение, степень

Неравенства одного смысла можно почленно складывать: если $a > b$ , $c > d$ , то $a + c > b + d$ — если приложить друг к другу два более длинных отрезка, то и сумма окажется длиннее. Для положительных чисел можно и умножать: $a c > b d$ — у прямоугольника с большей шириной и большей длиной больше площадь. В частности, если $a > b > 0$ , то $a^{n} > b^{n}$ . Для отрицательных чисел это нарушается: $- 3 < - 2$ , но ${(- 3)}^{2} = 9 > 4$ .

Неравенство с одним неизвестным и система

Неравенство решаем так же, как уравнение: переносим слагаемые, делим на коэффициент — только при делении на отрицательное число знак меняется. Решение — луч на числовой оси: для $x \geq 2$ это $[2; + \infty)$ , конец закрашен (входит); для $x < 5$ это $(- \infty; 5)$ , конец пустой (не входит). Система — оба неравенства одновременно: общая часть лучей, например $[2; 5)$ . Если общей части нет, решений нет ( $⌀$ ). В задаче про лифт из $75 n \leq 630$ получаем $n \leq 8,4$ , где $n$ натуральное: не более 8 человек.

Модуль — расстояние

$| x - a |$ — расстояние на числовой оси от $x$ до $a$ . Поэтому решение уравнения $| x - a | = h$ — две точки $a \pm h$ на расстоянии $h$ от $a$ ; решение $| x - a | \leq h$ — отрезок $[a - h; a + h]$ между ними; решение $| x - a | \geq h$ — два луча. На графике $y = | x - a |$ — «галочка» («V») с вершиной в точке $a$ ; прямая $y = h$ пересекает её в двух точках, а отрезок — это часть «V» ниже $h$ . В двойном неравенстве одно и то же действие выполняется над всеми тремя частями; если модулей два, ось разбивается нулями модулей на зоны.

О модели

Коэффициенты на шагах — целые числа, а ответы могут быть дробными: на оси они стоят в точном месте, а в записи — несократимой дробью или десятичным приближением с «≈». В задаче про лифт принято, что «в среднем 75 кг» (так считают и по стандарту лифтов); настоящие пассажиры весят по-разному. Числовая ось показана от $- 12$ до $12$ — решения за её пределами на ось не помещаются, но видны в формуле.

Знаете ли вы?

Знаки «<» и «>» ввёл английский математик Томас Харриот — они появились в его труде «Artis analyticae praxis», изданном уже после его смерти, в 1631 году. Знаки «≤» и «≥» использовал французский учёный Пьер Бугер в 1734 году.
По европейскому стандарту лифтов (EN 81) грузоподъёмность кабины связана с числом пассажиров из расчёта 75 кг на человека: лифт на 630 кг рассчитан на 8 пассажиров, лифт на 1 000 кг — на 13 пассажиров.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Одночлены и многочлены — 7 класс
Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс