Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 8-sinf

Tengsizliklar: nur va oraliq

Lift 630 kg ko‘taradi. 75 kg li necha odam chiqishi mumkin?

Vaziyat

Ko‘p qavatli uyning yuk lifti 630 kg ko‘taradi. O‘rtacha 75 kg li necha odam birdaniga chiqishi mumkin? Javob bitta son emas: 0 dan 8 gacha har qanday son yaraydi — bu tenglama emas, tengsizlik. «Oyiga 20 GB dan oshmasin», «bo‘yi 170 sm dan 5 sm ga farq qilsin» — bular ham tengsizlik. Sonlar o‘qida nur, oraliq va masofa bilan ularni yechishni o‘rganamiz.

Mavzu

Sonli tengsizliklar va xossalari, bir noma’lumli tengsizliklar va sistemalari, sonli oraliqlar, modul. Yuk liftining chegarasi va mobil tarif: «dan ko‘p emas» sonlar o‘qida nur va oraliq bo‘ladi; |x − a| — masofa

Asosiy tushunchalar

Sonli tengsizlik
Sonli oraliq
Modul — masofa

Formulalar

a > b \Leftrightarrow a - b > 0

Sonli tengsizlikning ta’rifi: $a$ son $b$ dan katta — farqi musbat, o‘qda $a$ o‘ngroqda.

a > b \Rightarrow a + c > b + c; a c > b c (c > 0), a c < b c (c < 0)

Ikkala tomonga bir xil sonni qo‘shish mumkin; manfiy songa ko‘paytirilganda tengsizlik belgisi teskariga o‘zgaradi.

a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d; a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow a c > b d

Bir xil ma’noli tengsizliklarni hadma-had qo‘shish mumkin; musbat bo‘lsa — ko‘paytirish ham.

| x - a | \leq h \Leftrightarrow a - h \leq x \leq a + h

$| x - a |$ — $x$ dan $a$ gacha masofa; masofa $h$ dan oshmaydigan nuqtalar — $[a - h; a + h]$ kesma.

Nazariya

Sonli tengsizlik

Ikki sonni taqqoslash uchun farqini olamiz: $a - b > 0$ bo‘lsa, $a > b$ ; $a - b < 0$ bo‘lsa, $a < b$ ; farq nol bo‘lsa, sonlar teng. Sonlar o‘qida katta son o‘ngroqda turadi: $5 > 2$ , $- 2 > - 5$ . Birinchi pog‘onada ikkita nuqtani surib, farqni ko‘rsatadigan strelkaga qarang — u o‘ngga yo‘nalgan bo‘lsa, farq musbat.

Asosiy xossalari

Ikkala tomonga bir xil sonni qo‘shsak (yoki ayirsak), nuqtalar o‘qda birga suriladi — tartib o‘zgarmaydi: $a > b \Rightarrow a + c > b + c$ . Musbat songa ko‘paytirsak, masofalar cho‘ziladi, tartib saqlanadi. Manfiy songa ko‘paytirsak, nuqtalar 0 ga nisbatan ag‘dariladi — tartib teskari bo‘ladi: $5 > 2$ , lekin $- 10 < - 4$ . Shu sababli tengsizlikni manfiy songa bo‘lganda belgini almashtiramiz. Yana: $a > b$ va $b > c$ bo‘lsa, $a > c$ (tranzitivlik).

Qo‘shish, ko‘paytirish, daraja

Bir xil ma’noli tengsizliklarni hadma-had qo‘shish mumkin: $a > b$ , $c > d$ bo‘lsa, $a + c > b + d$ — uzunroq ikki kesma yonma-yon qo‘yilsa, yig‘indi ham uzunroq. Musbat sonlar uchun ko‘paytirish ham mumkin: $a c > b d$ — eni ham, bo‘yi ham katta to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi katta. Xususan $a > b > 0$ bo‘lsa, $a^{n} > b^{n}$ . Manfiylarda bu buziladi: $- 3 < - 2$ , lekin ${(- 3)}^{2} = 9 > 4$ .

Bir noma’lumli tengsizlik va sistema

Tengsizlikni tenglama kabi yechamiz: hadlarni ko‘chiramiz, koeffitsiyentga bo‘lamiz — faqat manfiyga bo‘lganda belgi teskari. Yechim — sonlar o‘qidagi nur: $x \geq 2$ uchun $[2; + \infty)$ , uchi qora (kiradi); $x < 5$ uchun $(- \infty; 5)$ , uchi oq (kirmaydi). Sistema — ikkala tengsizlik bir vaqtda: nurlarning umumiy qismi, masalan $[2; 5)$ . Umumiy qism bo‘lmasa, yechim yo‘q ( $⌀$ ). Liftda $75 n \leq 630$ dan $n \leq 8,4$ , $n$ natural: ko‘pi bilan 8 kishi.

Modul — masofa

$| x - a |$ — sonlar o‘qida $x$ dan $a$ gacha masofa. Shuning uchun $| x - a | = h$ ning yechimi — $a$ dan $h$ masofadagi ikki nuqta $a \pm h$ ; $| x - a | \leq h$ — ular orasidagi kesma $[a - h; a + h]$ ; $| x - a | \geq h$ — ikki nur. Grafikda $y = | x - a |$ — uchi $a$ da bo‘lgan «V» chiziq; $y = h$ to‘g‘ri chizig‘i uni ikki nuqtada kesadi, kesma — V ning $h$ dan pastdagi qismi. Qo‘sh tengsizlikda uchala qismga bir xil amal bajariladi; ikki modul bo‘lsa, o‘q nol nuqtalari bilan zonalarga bo‘linadi.

Model haqida

Pog‘onalardagi koeffitsiyentlar butun sonlar, javoblar esa kasr bo‘lishi mumkin — o‘qda ular aniq joyga qo‘yiladi, yozuvda qisqartirilgan kasr yoki «≈» bilan o‘nli yaqinlashma. Lift masalasida «o‘rtacha 75 kg» qabul qilinadi (lift standartidagi hisob ham shunday); haqiqiy yo‘lovchilar turlicha. Sonlar o‘qi $- 12$ dan $12$ gacha ko‘rsatiladi — bundan tashqaridagi yechimlar o‘qqa sig‘maydi, formulada esa ko‘rinadi.

Bilasizmi?

«<» va «>» belgilarini ingliz matematigi Tomas Harriot kiritgan — ular uning vafotidan keyin, 1631-yilda chop etilgan «Artis analyticae praxis» asarida paydo bo‘lgan. «≤» va «≥» belgilarini fransuz olimi Pyer Buge 1734-yilda ishlatgan.
Yevropa lift standartida (EN 81) kabinaning yuk ko‘tarish qobiliyati yo‘lovchilar soniga 75 kg hisobidan bog‘lanadi: 630 kg li lift 8 yo‘lovchi uchun, 1 000 kg li lift 13 yo‘lovchi uchun mo‘ljallangan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.