Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 7-sinf

Chiziqli tenglama: tarozi

Pallalar teng: 3 qop + 4 kg = 2 qop + 13 kg. Bir qop necha kg?

Vaziyat

Al-Xorazmiy davridagi bozor. Tarozining bir pallasida 3 ta bir xil qop guruch va 4 kg tosh, ikkinchisida 2 ta shunday qop va 13 kg tosh — pallalar teng turibdi. Bir qop guruch necha kilogramm? Qoplarni ochib tortish shart emas: pallalardan bir xil narsalarni olib tashlaymiz, muvozanat buzilmaydi — oxirida bitta qop va toshlar qoladi. Bu usulga ming yildan ko‘proq oldin al-Xorazmiy «al-jabr va al-muqobala» deb nom bergan.

Mavzu

Chiziqli tenglama: ildiz, tarozi modeli, al-Xorazmiy usuli, masalalarni tenglama bilan yechish. Al-Xorazmiyning tarozisi: ikki pallada noma’lum qutilar va toshlar — al-jabr va al-muqobala qadamlari

Asosiy tushunchalar

Tenglama va ildiz
Al-jabr va al-muqobala
Masala → tenglama

Formulalar

a x + b = c x + d

Bir noma’lumli chiziqli tenglama: $x$ — noma’lum, $a, b, c, d$ — berilgan sonlar. Ildiz — tenglikni to‘g‘ri qiladigan $x$ qiymati.

a x - c x = d - b \Rightarrow (a - c) x = d - b

Hadlarni ko‘chirish: had tenglikning bir tomonidan ikkinchisiga ishorasini o‘zgartirib o‘tadi (al-jabr va al-muqobala).

x = \frac{d - b}{a - c}, a \neq c

Ildiz. $a = c$ bo‘lsa: $b = d$ da har qanday $x$ ildiz, $b \neq d$ da ildiz yo‘q.

\frac{x + 1}{2} = 3 \Rightarrow x + 1 = 6

Kasrli tenglama: ikkala tomonni maxrajga ko‘paytiramiz — pallalar ikkilanadi, muvozanat saqlanadi.

Nazariya

Tenglama va uning ildizi

Ichida noma’lum son bo‘lgan tenglik — tenglama: $3 x + 4 = 2 x + 13$ . Tenglamaning ildizi — noma’lum o‘rniga qo‘yilganda tenglikni to‘g‘ri qiladigan son. $x = 5$ da chap tomon $19$ , o‘ng tomon $23$ — teng emas; $x = 9$ da ikkalasi $31$ — demak $9$ ildiz. Tenglamani yechish — barcha ildizlarini topish (yoki ildizi yo‘qligini ko‘rsatish). Tarozi modeli buni ko‘rsatadi: qop og‘irligi ildizga teng bo‘lgandagina pallalar tenglashadi.

Al-Xorazmiy va uning usuli

Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy (Xorazmda tug‘ilgan, taxminan 783–850) Bag‘doddagi «Bayt ul-hikma»da ishlagan. Uning «Al-kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr va-l-muqobala» asari tenglamalarni ikki amal bilan yechishni o‘rgatadi. Al-jabr («to‘ldirish») — ayirilayotgan hadni (qarzni) ikkala tomonga qo‘shib yo‘qotish: $x - 5 = 2 x - 12$ dan $x + 7 = 2 x$ . Al-muqobala («qarama-qarshi qo‘yish») — ikkala tomondagi bir xil hadlarni olib tashlash: $x + 7 = 2 x$ dan $7 = x$ . Al-Xorazmiy manfiy sonlarni ishlatmagan, shuning uchun tenglamalarni olti turga ajratgan.

Chiziqli tenglama va hadlarni ko‘chirish

Soddalashtirgandan keyin $a x + b = c x + d$ ko‘rinishiga keladigan tenglama chiziqli deyiladi. Yechish qoidasi: noma’lumli hadlarni bir tomonga, sonlarni ikkinchi tomonga ko‘chiramiz — ko‘chgan had ishorasini o‘zgartiradi (bu ikkala tomondan bir xil hadni ayirish bilan bir xil): $(a - c) x = d - b$ . $a \neq c$ bo‘lsa, ildiz bitta: $x = \frac{d - b}{a - c}$ . $a = c$ bo‘lsa, chap tomon $0 \cdot x$ ga aylanadi: $b = d$ da $0 = 0$ — har qanday $x$ ildiz, $b \neq d$ da $0 = d - b$ noto‘g‘ri — ildiz yo‘q. Tarozida: qoplar soni teng, toshlar har xil — hech qachon tenglashmaydi.

Qavsli va kasrli tenglamalar

Qavs bo‘lsa, avval qavsni ochamiz: $3 (x + 2) = 5 x - 4$ dan $3 x + 6 = 5 x - 4$ , keyin odatdagidek. Kasr bo‘lsa, ikkala tomonni maxrajga (bir nechta bo‘lsa — umumiy maxrajga) ko‘paytiramiz: $\frac{x + 1}{2} = 3$ dan $x + 1 = 6$ ; $\frac{x - 1}{2} = \frac{x + 3}{4}$ da umumiy maxraj $4$ : $2 (x - 1) = x + 3$ , bundan $x = 5$ . Noma’lum maxrajda bo‘lsa (kasr-chiziqli tenglama, masalan $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ ), ko‘paytirishdan oldin maxraj nolga teng bo‘lmasligi kerak: topilgan ildizni $x \neq 1$ , $x \neq - 1$ shartida tekshiramiz — bu «Algebraik kasrlar» tajribasida davom etadi.

Masalalarni tenglama yordamida yechish

To‘rt qadam. 1) Noma’lumni tanlaymiz — odatda masalada so‘ralgan miqdor ( $x$ — o‘g‘ilning yoshi). 2) Qolgan miqdorlarni $x$ orqali ifodalaymiz (ota $x + 24$ , uch yildan keyin $x + 3$ va $x + 27$ ). 3) Masala shartidan tenglama tuzamiz: $x + 27 = 3 (x + 3)$ . 4) Yechamiz va javobni masala bo‘yicha tekshiramiz: $x = 9$ — uch yildan keyin $12$ va $36$ , $36 = 3 \cdot 12$ . Chiziqli (bar) model qadam 2 va 3 ni ko‘rsatadi: otaning chizig‘i o‘g‘ilning uchta chizig‘iga teng.

Model haqida

Tarozi — tushuntirish modeli: qoplar bir xil og‘irlikda, toshlar aniq, ishqalanish yo‘q deb olinadi. Manfiy had «sharcha» (qarz) bilan ko‘rsatiladi, lekin manfiy ildizli tenglamani tarozi ko‘rsata olmaydi — qoida esa ishlayveradi. Pallalarning og‘ishi haqiqiy tarozidagidek emas, faqat qaysi tomon og‘irligini bildiradi. Tajribada ildizlar butun yoki o‘nli kasr ko‘rinishida (ikki xona) ko‘rsatiladi.

Bilasizmi?

«Algebra» so‘zi al-Xorazmiyning Bag‘dodda taxminan 820-yilda yozilgan «Al-kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr va-l-muqobala» asari nomidagi «al-jabr» so‘zidan kelib chiqqan.
«Algoritm» so‘zi al-Xorazmiy nomining lotincha shakli — «Algoritmi» — dan kelib chiqqan: XII asrda uning hind raqamlari haqidagi arifmetika kitobi lotin tiliga tarjima qilingan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.