Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 7-sinf

Algebraik kasrlar

Bir quvur hovuzni 4 soatda, ikkinchisi 12 soatda to‘ldiradi. Birga-chi?

Tajribani ochish

Vaziyat

Hovuzga ikki quvur suv quyadi: birinchisi yolg‘iz o‘zi hovuzni 4 soatda, ikkinchisi 12 soatda to‘ldiradi. Ikkalasini birga ochsak, hovuz qancha vaqtda to‘ladi? Bir soatda birinchisi hovuzning 1/4, ikkinchisi 1/12 qismini quyadi — kasrlarni qo‘shish kerak. Quvurlar vaqtini a va b desak, 1/a + 1/b chiqadi: surat va maxrajida harflar bor kasr. Sonli kasr qoidalari harfli kasrga qanday ko‘chadi?

Mavzu

Algebraik kasrlar: qisqartirish, umumiy maxraj, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, kasr-ratsional ifodalar. Ikki quvurli hovuz: 1/a + 1/b — vaqt kasrlari; sonli kasrdagi qoidalar harfli kasrga ko‘chadi

Asosiy tushunchalar

• Qisqartirish
• Umumiy maxraj
• Kasrli tenglama

Formulalar

Algebraik kasr: surat $P$ va maxraj $Q$ — ko‘phadlar. Maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarda kasr aniqlanmagan.

Qisqartirish: surat va maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratib, umumiy ko‘paytuvchini bo‘lib tashlaymiz ($x\ne 0$, $x\ne -2$).

Umumiy maxraj: har bir kasrni qo‘shimcha ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, bir xil maxrajga keltiramiz; hovuz birga $t={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$ soatda to‘ladi.

Ko‘paytirish — surat suratga, maxraj maxrajga; bo‘lish — ikkinchi kasrni ag‘darib ko‘paytirish.

Nazariya

Algebraik kasr va aniqlanish sohasi

Surati va maxraji ko‘phad bo‘lgan ifoda — algebraik kasr: ${\displaystyle \frac{x}{x-2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$. Harflarga son bersak, kasr songa aylanadi: $x=5$ da ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. Lekin $x=2$ da maxraj $0$ — nolga bo‘lib bo‘lmaydi, kasr aniqlanmagan. Harflarning kasr ma’noga ega bo‘ladigan qiymatlari — aniqlanish sohasi: $x\ne 2$. Har bir almashtirishdan oldin maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarni yozib qo‘yamiz.

Asosiy xossa va qisqartirish

Sonli kasrdagidek: surat va maxrajni bir xil nolmas ko‘phadga ko‘paytirsak yoki bo‘lsak, kasr o‘zgarmaydi. Qisqartirish uchun avval surat va maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratamiz — umumiy ko‘paytuvchini qavs ochilgan holda ko‘rib bo‘lmaydi: ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+2x}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}}={\displaystyle \frac{x-2}{x}}$. Qisqartirilgan kasr dastlabkisiga faqat $x\ne -2$ shartida teng (dastlabkisi $x=-2$ da aniqlanmagan edi). Umumiy xato: ${\displaystyle \frac{x+2}{x+3}}$ da $x$ larni «qisqartirish» — bu yerda $x$ ko‘paytuvchi emas, qo‘shiluvchi.

Umumiy maxraj

Maxrajlari har xil kasrlarni qo‘shish uchun ularni umumiy maxrajga keltiramiz — odatda eng kichik umumiy karraliga. Sonlar uchun $4$ va $12$ ning EKUK si $12$; ko‘phadlar uchun har bir maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratib, har bir ko‘paytuvchini eng katta darajada bir marta olamiz: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ va $x+1$ uchun umumiy maxraj $(x-1)(x+1)$. Har kasr o‘zining qo‘shimcha ko‘paytuvchisiga ko‘paytiriladi. Hovuzda: ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ — bir soatda hovuzning uchdan biri, demak $3$ soatda to‘ladi.

Qo‘shish va ayirish

Maxrajlari bir xil kasrlarda suratlar qo‘shiladi (ayiriladi), maxraj o‘zgarmaydi. Maxrajlari har xil bo‘lsa — avval umumiy maxraj: ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$. Ayirishda ikkinchi suratni qavsga olish shart: $-(x-1)=-x+1$. Natijani har doim sinab ko‘ring: $x=4$ da chap tomon ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$, o‘ng tomon ${\displaystyle \frac{2}{15}}$.

Ko‘paytirish, bo‘lish, ayniy almashtirishlar

Ko‘paytirishda surat suratga, maxraj maxrajga ko‘paytiriladi, lekin oldin ko‘paytuvchilarga ajratib, qisqartirgan ma’qul: ${\displaystyle \frac{x^2-4}{3x}}\cdot {\displaystyle \frac{6x^2}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)\cdot 6x^2}{3x(x+2)}}=2x(x-2)$. Bo‘lishda ikkinchi kasr ag‘dariladi: ${\displaystyle \frac{P}{Q}}:{\displaystyle \frac{R}{S}}={\displaystyle \frac{P}{Q}}\cdot {\displaystyle \frac{S}{R}}$. Bir nechta amalli ifoda qadamma-qadam soddalashtiriladi — bu ayniy almashtirish: natija aniqlanish sohasining har bir nuqtasida dastlabki ifodaga teng, masalan $({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}):{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}=1$.

Kasrli tenglamalar va model haqida

Maxrajida noma’lum bo‘lgan tenglama — kasr-chiziqli: ${\displaystyle \frac{3}{x-1}}={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$. Avval aniqlanish sohasi ($x\ne 1$, $x\ne -1$), keyin ikkala tomonni umumiy maxrajga ko‘paytiramiz: $3(x+1)=2(x-1)$, $x=-5$ — sohaga kiradi, demak ildiz. Agar topilgan son maxrajni nolga aylantirsa, u chet ildiz — tashlab yuboriladi: ${\displaystyle \frac{x}{x-3}}={\displaystyle \frac{3}{x-3}}$ dan $x=3$ chiqadi, lekin $x\ne 3$ — tenglamaning ildizi yo‘q. Tajribada kasrlar ikki xonagacha o‘nli yoki qisqartirilgan oddiy kasr ko‘rinishida tekshiriladi; hovuz modelida quvurlar bir tekis quyadi deb olinadi.

Bilasizmi?

• Kasrni gorizontal chiziq bilan yozish XII asrda Mag‘ribda ishlagan matematik al-Hassor asarlarida uchraydi; Yevropaga bu yozuvni Fibonachchi «Liber abaci» (1202) kitobi orqali olib kirgan.
• Hovuz formulasi fizikada ham ishlaydi: parallel ulangan ikki o‘tkazgichning umumiy qarshiligi ${\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{R_1}}+{\displaystyle \frac{1}{R_2}}$ dan $R={\displaystyle \frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}$ — xuddi ikki quvurning birgalikdagi vaqti kabi.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

• Ifodalar: sondan harfgacha — 7-sinf
• Birhad va ko‘phadlar — 7-sinf
• Qisqa ko‘paytirish formulalari — 7-sinf
• Chiziqli tenglama: tarozi — 7-sinf
• Tenglamalar sistemasi — 7-sinf
• Tengsizliklar: nur va oraliq — 8-sinf
• Kvadrat tenglama: parabola — 8-sinf