Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 8-sinf

Kvadrat tenglama: parabola

Tomorqa yuzi 40 m², perimetri 26 m. Tomonlari qancha?

Vaziyat

Dehqon tomorqasining yuzi 40 m², atrofidagi to‘siq 26 m. Tomonlari qancha? Eni x bo‘lsa, bo‘yi 13 − x, yuza x(13 − x) = 40 — bu x² − 13x + 40 = 0 kvadrat tenglama. Bundan 1200 yil oldin Bag‘dodda al-Xorazmiy shunday tenglamalarni kvadratni «to‘ldirib» yechgan. Biz ham to‘ldiramiz, so‘ng diskriminant va Viyet teoremasiga chiqamiz.

Mavzu

Kvadrat tenglama: chala tenglamalar, to‘la kvadratga keltirish, diskriminant, Viyet teoremasi, bikvadrat tenglama, masalalar. Yuzi 40 m², perimetri 26 m bo‘lgan tomorqa: al-Xorazmiyning to‘la kvadrat yasashi; diskriminant ildizlar sonini aytadi

Asosiy tushunchalar

Diskriminant
To‘la kvadrat
Viyet teoremasi

Formulalar

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0

Kvadrat tenglamaning standart ko‘rinishi: $a$ — bosh koeffitsiyent, $b$ — ikkinchi koeffitsiyent, $c$ — ozod had. Ildizlari — parabola $y = a x^{2} + b x + c$ ning $x$ o‘qi bilan kesishgan nuqtalari.

x^{2} + b x = c \Rightarrow {(x + \frac{b}{2})}^{2} = c + \frac{b^{2}}{4}

To‘la kvadratga keltirish (al-Xorazmiy usuli): kvadrat va ikki teng to‘g‘ri to‘rtburchakka burchak kvadrati qo‘shiladi.

D = b^{2} - 4 a c, x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}

Diskriminant va ildizlar formulasi: $D > 0$ — ikki ildiz, $D = 0$ — bitta, $D < 0$ — haqiqiy ildiz yo‘q.

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Viyet teoremasi: ildizlar yig‘indisi va ko‘paytmasi koeffitsiyentlardan o‘qiladi; $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Nazariya

Kvadrat tenglama va ildizlari

$a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) — kvadrat tenglama. Uning ildizi — tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan son. Grafikda $y = a x^{2} + b x + c$ — parabola; ildizlar parabola $x$ o‘qini kesgan nuqtalar. Parabola o‘qni ikki nuqtada kesishi, bir nuqtada urinishi yoki umuman kesmasligi mumkin — shuning uchun ildizlar 2 ta, 1 ta yoki 0 ta. Tomorqa masalasida $x (13 - x) = 40$ dan $x^{2} - 13 x + 40 = 0$ chiqadi: ildizlari 5 va 8.

Chala tenglamalar

$b = 0$ yoki $c = 0$ bo‘lsa tenglama chala. $a x^{2} + b x = 0$ — $x$ qavsdan chiqadi: $x (a x + b) = 0$ , demak $x = 0$ yoki $x = - b / a$ (parabola koordinata boshidan o‘tadi). $a x^{2} + c = 0$ — $x^{2} = - c / a$ : o‘ng tomon musbat bo‘lsa $x = \pm \sqrt{- c / a}$ , manfiy bo‘lsa ildiz yo‘q (kvadrat manfiy bo‘lolmaydi). $a x^{2} = 0$ — yagona ildiz $x = 0$ , parabola uchi o‘qda.

To‘la kvadrat: al-Xorazmiy

$x^{2} + 10 x = 39$ : tomoni $x$ bo‘lgan kvadrat va yuzi $10 x$ bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak. To‘rtburchakni ikkiga bo‘lib ( $5 x$ va $5 x$ ), kvadratning ikki tomoniga qo‘yamiz — burchakda $5 \times 5$ katak yetishmaydi. Uni ikkala tomonga qo‘shsak: ${(x + 5)}^{2} = 39 + 25 = 64$ , demak $x + 5 = 8$ , $x = 3$ . Umuman: $x^{2} + b x = c$ dan ${(x + b / 2)}^{2} = c + b^{2} / 4$ . Al-Xorazmiy faqat musbat ildizni olgan; bugun $x + 5 = - 8$ dan $x = - 13$ ham ildiz deyiladi.

Diskriminant va formula

To‘la kvadrat usulini umumiy holda bajarsak: $a x^{2} + b x + c = 0$ dan ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ . O‘ng tomondagi $D = b^{2} - 4 a c$ — diskriminant («ajratuvchi»): $D > 0$ bo‘lsa ikki ildiz $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ , $D = 0$ bo‘lsa bitta ildiz $x = - \frac{b}{2 a}$ (parabola o‘qqa urinadi), $D < 0$ bo‘lsa haqiqiy ildiz yo‘q (parabola o‘qni kesmaydi). $b$ juft bo‘lsa $D_{1} = {(b / 2)}^{2} - a c$ bilan hisob qisqaradi.

Viyet teoremasi, bikvadrat, masalalar

Ildizlari $x_{1}$ , $x_{2}$ bo‘lsa, $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; qavslarni ochsak Viyet teoremasi chiqadi: $x_{1} + x_{2} = - b / a$ , $x_{1} x_{2} = c / a$ . Keltirilgan tenglamada ( $a = 1$ ) ildizlarni ko‘pincha og‘zaki topish mumkin: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ — yig‘indisi 5, ko‘paytmasi 6: bular 2 va 3. Bikvadrat tenglama $x^{4} + p x^{2} + q = 0$ da $t = x^{2}$ almashtirish kvadrat tenglama beradi; har bir musbat $t$ dan ikkita ildiz $\pm \sqrt{t}$ chiqadi. Masalalar: yuza va perimetr (tomorqa), harakat — tezlikni 10 km/soat oshirsa 60 km yo‘lga 1 soat kam ketadi: $\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 1$ , bundan $v^{2} + 10 v - 600 = 0$ , $v = 20$ .

Model haqida

Pog‘onalarda koeffitsiyentlar butun sonlar; ildizlar kasr yoki irratsional bo‘lsa, formulada aniq ko‘rinish (kasr, $\sqrt{D}$ ) va «≈» bilan yaxlitlangan qiymat beriladi. Grafik $- 6$ dan $6$ gacha ko‘rsatiladi — bundan tashqaridagi ildizlar o‘qda ko‘rinmaydi, formulada esa bor. Tomorqa masalasida tomon manfiy bo‘lolmaydi, shuning uchun faqat musbat ildizlar ma’noga ega; al-Xorazmiy chizmasi ham faqat musbat ildizni ko‘rsatadi.

Bilasizmi?

Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy (taxminan 780–850) Bag‘doddagi «Bayt al-hikma»da ishlagan; uning «Al-kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr va-l-muqobala» asarida (taxminan 820–830) $x^{2} + 10 x = 39$ tenglamasi kvadratni to‘ldirish chizmasi bilan yechilgan. «Algebra» so‘zi shu kitob nomidagi «al-jabr»dan.
Fransua Viyet (1540–1603) — fransuz huquqshunosi va matematigi — 1591-yilgi «In artem analyticem isagoge» asarida noma’lum va ma’lum miqdorlarni harflar bilan belgilashni joriy etgan; ildizlar bilan koeffitsiyentlar orasidagi bog‘lanish uning nomi bilan ataladi.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.