Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 7-sinf

Tenglamalar sistemasi

2 kg olma va 3 kg nok — 29 000, 1 kg va 1 kg — 12 000 so‘m. Narxlar?

Vaziyat

Bozorda 2 kg olma va 3 kg nok uchun 29 000 so‘m, 1 kg olma va 1 kg nok uchun 12 000 so‘m to‘landi. Olma va nok alohida qancha turadi? Ikki noma’lum bor, lekin ikkita shart ham bor. Har bir shart — koordinata tekisligida bir to‘g‘ri chiziq, ikkalasini ham qanoatlantiradigan juftlik — ularning kesishgan nuqtasi. Chizib topamiz, keyin hisoblab aniq topamiz.

Mavzu

Chiziqli tenglamalar sistemasi: grafik, o‘rniga qo‘yish va qo‘shish usullari, masalalar. Bozorda 2 kg olma va 3 kg nok 29 000 so‘m, 1 kg va 1 kg — 12 000 so‘m: ikki to‘g‘ri chiziq kesishgan nuqta — yechim

Asosiy tushunchalar

Grafik usul
O‘rniga qo‘yish
Qo‘shish usuli

Formulalar

{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

Ikki noma’lumli ikki chiziqli tenglama sistemasi. Yechim — ikkala tenglamani ham to‘g‘ri qiladigan juftlik $(x; y)$ .

y = 12 - x \Rightarrow 2 x + 3 (12 - x) = 29

O‘rniga qo‘yish: bir tenglamadan $y$ ni ifodalab, ikkinchisiga qo‘yamiz — bitta noma’lum qoladi.

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \Rightarrow yechim yo‘q

Koeffitsiyentlar proporsional bo‘lsa, chiziqlar parallel; ozod hadlar ham proporsional bo‘lsa — ustma-ust (cheksiz ko‘p yechim).

(2 x + 3 y) - 3 (x + y) = 29 - 36 \Rightarrow - x = - 7

Qo‘shish usuli: tenglamalarni shunday ko‘paytiramizki, qo‘shganda (ayirganda) bir noma’lum yo‘qolsin.

Nazariya

Ikki noma’lum, bitta tenglama

$x + y = 12$ tenglamaning yechimi — juftlik $(x; y)$ : $(0; 12)$ , $(1; 11)$ , $(7; 5)$ , $(2,5; 9,5)$ … — cheksiz ko‘p. Koordinata tekisligida ularning hammasi bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi: $y = 12 - x$ chiziqli funksiyaning grafigi. Birinchi pog‘onada nuqtani chiziq bo‘ylab suring — yig‘indi doim 12.

Sistema va grafik usul

Ikkinchi shart $2 x + 3 y = 29$ — ikkinchi to‘g‘ri chiziq. Ikkala tenglamani ham qanoatlantiradigan juftlik ikkala chiziqda ham yotadi, ya’ni ularning kesishgan nuqtasi: $(7; 5)$ . Uchta holat bor: chiziqlar kesishadi — bitta yechim; parallel — yechim yo‘q; ustma-ust tushadi — cheksiz ko‘p. Parallellik koeffitsiyentlardan ko‘rinadi: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ . Grafik usul javobni ko‘rsatadi, lekin kasr koordinatalarni chizmadan aniq o‘qib bo‘lmaydi — shuning uchun algebraik usullar kerak.

O‘rniga qo‘yish usuli

Bir tenglamadan noma’lumlardan birini ifodalaymiz: $x + y = 12$ dan $y = 12 - x$ . Buni ikkinchi tenglamaga qo‘yamiz: $2 x + 3 (12 - x) = 29$ — endi bitta noma’lum, oddiy chiziqli tenglama: $2 x + 36 - 3 x = 29$ , $x = 7$ . Keyin $y = 12 - 7 = 5$ . Geometrik ma’nosi: nuqta birinchi chiziq bo‘ylab yuradi ( $y$ doim $12 - x$ ) va ikkinchi chiziqqa yetganda to‘xtaydi.

Qo‘shish usuli

Tenglamalarni shunday sonlarga ko‘paytiramizki, bir noma’lumning koeffitsiyentlari teng (yoki qarama-qarshi) bo‘lsin: $x + y = 12$ ni 3 ga ko‘paytirsak, $3 x + 3 y = 36$ . Endi ikkinchi tenglamadan ayiramiz: $(2 x + 3 y) - (3 x + 3 y) = 29 - 36$ , ya’ni $- x = - 7$ , $x = 7$ . Tenglamalarning har qanday bunday kombinatsiyasi — yana to‘g‘ri chiziq, va u ham yechim nuqtasidan o‘tadi: to‘rtinchi pog‘onada chiziqlar dastasi shuni ko‘rsatadi.

Masalalarni sistema yordamida yechish

Ikki noma’lum miqdorni $x$ va $y$ deymiz, masaladagi ikki shartdan ikki tenglama tuzamiz. Qarshi harakat: 300 km masofani ikki mashina 2 soatda bosib o‘tdi — $2 x + 2 y = 300$ ; tezliklar farqi 10 km/soat — $x - y = 10$ . Yechim: $x = 80$ , $y = 70$ km/soat. Javobni masala bo‘yicha tekshiramiz: $160 + 140 = 300$ . Narx, aralashma, ish masalalari ham xuddi shunday.

Model haqida

Chizmada o‘qlar $- 1$ dan $13,5$ gacha: shu oynadan tashqaridagi kesishish nuqtasi ko‘rinmaydi, lekin hisob uni baribir topadi. Grafik usul taqribiy: nuqta koordinatalari chizmadan o‘qilganda xato bo‘lishi mumkin, aniq javobni o‘rniga qo‘yish yoki qo‘shish usuli beradi. Tajribada faqat ikki noma’lumli chiziqli sistemalar qaraladi; uch va undan ko‘p noma’lumli sistemalar xuddi shu usullar bilan, lekin ko‘proq qadamda yechiladi.

Bilasizmi?

Koordinata tekisligida tenglamani chiziq bilan tasvirlash g‘oyasi Rene Dekartning 1637-yilda chop etilgan «Geometriya» asaridan boshlanadi — shuning uchun to‘g‘ri burchakli koordinatalar «Dekart koordinatalari» deb ham ataladi.
Qadimgi Xitoyning «Matematika san’ati haqida to‘qqiz kitob» asarida (milodning I asridan kechiktirmay tuzilgan) sakkizinchi bob chiziqli tenglamalar sistemalarini hozirgi Gauss usuliga o‘xshash tarzda yechadi.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.