Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 7-sinf

Qisqa ko‘paytirish formulalari

Gilam har tomondan b ga kengaydi — (a + b)² ning bo‘laklari qaysilar? 55² ni og‘zaki hisoblang

Vaziyat

Kvadrat gilamning tomoni a metr. Uni ikki tomondan b metrga kengaytirdik — endi tomoni a + b. Yangi yuza (a + b)² — lekin u a² + b² emas! Chizsak, to‘rt bo‘lak chiqadi: eski gilam a², ikkita bir xil to‘g‘ri to‘rtburchak ab va burchakdagi kichik kvadrat b². Kvadrat tosh plitadan burchagidagi b × b kvadratni kesib olsak-chi — qolgan qismni to‘g‘ri to‘rtburchakka aylantirish mumkinmi? Bu rasmlar qisqa ko‘paytirish formulalarining o‘zi: ular 55² yoki 101 · 99 ni og‘zaki hisoblashga ham yordam beradi.

Mavzu

Qisqa ko‘paytirish formulalari: yig‘indi va ayirma kvadrati, kvadratlar ayirmasi, kublar, ko‘paytuvchilarga ajratish. Kvadrat gilamning cheti kengaytirilganda: (a + b)² kvadrat bo‘laklari, a² − b² to‘g‘ri to‘rtburchakka aylanadi, (a + b)³ kubi

Asosiy tushunchalar

(a + b)²
a² − b²
(a + b)³

Formulalar

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

Yig‘indi va ayirma kvadrati: ikkala kvadrat va ikkilangan ko‘paytma — chizmada to‘rt bo‘lak.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Kvadratlar ayirmasi: burchagi kesilgan kvadrat to‘g‘ri to‘rtburchakka aylanadi.

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Yig‘indining kubi: kub 8 bo‘lakka ajraladi — 1 + 3 + 3 + 1.

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})

Kublar yig‘indisi va ayirmasi: ko‘paytirganda o‘rtadagi hadlar juft-juft yo‘qoladi.

Nazariya

Yig‘indi va ayirma kvadrati

Tomoni $a + b$ bo‘lgan kvadratni ikki kesim to‘rt bo‘lakka bo‘ladi: $a^{2}$ , ikkita $a b$ va $b^{2}$ . Shuning uchun ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ — ikkilangan ko‘paytma unutilmasin: ${(a + b)}^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ . Ayirma kvadrati: $a^{2}$ dan ikki marta $a b$ ayiriladi, lekin burchakdagi $b^{2}$ ikki marta ayirilgan — uni qaytaramiz: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . Og‘zaki hisob: $55^{2} = {(50 + 5)}^{2} = 2500 + 500 + 25 = 3025$ .

Kvadratlar ayirmasi

Tomoni $a$ bo‘lgan kvadratdan burchagidagi $b \times b$ kvadratni kesib olamiz: yuzasi $a^{2} - b^{2}$ . Qolgan shaklni bir kesim bilan ikkiga bo‘lib, bir bo‘lakni burasak, tomonlari $a - b$ va $a + b$ bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak hosil bo‘ladi: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Og‘zaki: $101 \cdot 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 000 - 1 = 9 999$ .

Yig‘indining kubi va ayirmaning kubi

Qirrasi $a + b$ bo‘lgan kub uch tekislik bilan 8 bo‘lakka bo‘linadi: bitta $a^{3}$ , uchta $a^{2} b$ , uchta $a b^{2}$ va bitta $b^{3}$ : ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . $b$ o‘rniga $- b$ qo‘ysak, $b$ ning toq darajali hadlari ishorasini o‘zgartiradi: ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ . Koeffitsiyentlar $1, 3, 3, 1$ — Paskal uchburchagining qatori.

Kublar yig‘indisi va ayirmasi

$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ni ko‘paytirsak, oltita had chiqadi, to‘rttasi juft-juft yo‘qoladi: $- a^{2} b$ bilan $+ a^{2} b$ , $+ a b^{2}$ bilan $- a b^{2}$ . Qoladi $a^{3} + b^{3}$ . Shunga o‘xshash $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ . Ikkinchi qavsdagi ifoda to‘liqsiz kvadrat deyiladi ( $a^{2} - a b + b^{2}$ — ayirmaning, $a^{2} + a b + b^{2}$ — yig‘indining to‘liqsiz kvadrati): unda ikkilangan emas, oddiy ko‘paytma turadi.

Ko‘paytuvchilarga ajratish va tatbiq

Formulalar teskari tomonga ko‘paytuvchilarga ajratadi: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ; $4 x^{2} + 12 x + 9 = {(2 x)}^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = {(2 x + 3)}^{2}$ . Uch hadning to‘la kvadrat ekanini tekshirish: chetki hadlar kvadratmi, o‘rtadagisi ularning ildizlari ikkilangan ko‘paytmasimi. To‘la kvadrat ajratish: $x^{2} + 6 x + 5 = (x^{2} + 6 x + 9) - 4 = {(x + 3)}^{2} - 4$ — bu kvadrat tenglamalarni yechishga ko‘prik.

Model haqida

Chizmalar $a > b > 0$ uchun chizilgan — faqat shunda hamma bo‘lak musbat yuzaga ega. Formulalarning o‘zi esa istalgan sonlar uchun to‘g‘ri, manfiylari uchun ham: ularni ko‘phadlarni ko‘paytirish qoidasi bilan algebraik isbotlash mumkin. Kub modelida qirralar 1–3 birlik; slayderlar chegaralangan, formulalar emas.

Bilasizmi?

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ formulasini Evklid «Negizlar» asarining II kitobida (mil. av. taxminan 300-yil) geometrik tarzda — kvadratning bo‘laklari orqali — isbotlagan (II kitob, 4-teorema).
${(a + b)}^{n}$ ning koeffitsiyentlarini beruvchi sonlar uchburchagi (1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1 …) Yevropada Paskal nomi bilan mashhur, lekin uni bir necha asr oldin Umar Xayyom (XI asr) va xitoylik Yang Xuy (XIII asr) ham bilgan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.