Matematika · Ifodalar, tenglamalar va tengsizliklar · 7-sinf

Birhad va ko‘phadlar

Tomorqa 5 m ga kengaytirildi: (x + 3)(x + 5) yuzasi qaysi bo‘laklardan iborat?

Vaziyat

Tomorqa x metrga (x + 2) metr edi. Qo‘shni yerdan 3 metr qo‘shib, uzunligini x + 3 metr qildik. Yangi yuza — (x + 3)(x + 2). Uni chizsak, to‘rt bo‘lak chiqadi: x², 3x, 2x va 6 — har biri alohida birhad, yig‘indisi esa ko‘phad. 3x va 2x bo‘laklarini yonma-yon qo‘ysak, 5x bo‘ladi. Ko‘phadlar bilan qanday ishlanadi: ularni qanday qo‘shish, ko‘paytirish, bo‘lish va yana bo‘laklarga ajratish mumkin?

Mavzu

Birhad va ko‘phadlar: standart shakl, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, ko‘paytuvchilarga ajratish. Yer uchastkasi kengaytirilganda yuzi: (x + 3)(x + 5) yuza modeli — to‘rtburchak bo‘laklari ko‘phad hadlariga aylanadi

Asosiy tushunchalar

Standart shakl
Yuza modeli
Ko‘paytuvchilarga ajratish

Formulalar

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}, 2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}

Birhadlarni ko‘paytirish: koeffitsiyentlar ko‘paytiriladi, bir xil harflarning darajalari qo‘shiladi.

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Ko‘phadlarni ko‘paytirish — yuza modeli: har bir had har bir hadga ko‘paytiriladi.

(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6

O‘xshash hadlar ( $3 x$ va $2 x$ ) birlashadi — ko‘phadning standart shakli.

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3), (x^{2} + 5 x + 6) : (x + 2) = x + 3

Ko‘paytuvchilarga ajratish va bo‘lish — ko‘paytirishning teskarisi: yuzadan tomonga.

Nazariya

Birhad va standart shakli

Sonlar va harflarning ko‘paytmasi — birhad: $3 x^{2} y$ , $- 5 a$ , $7$ . Standart shakl: koeffitsiyent oldinda, har bir harf bir marta, darajasi bilan: $x \cdot 3 \cdot y \cdot x = 3 x^{2} y$ . Sonli ko‘paytuvchi — koeffitsiyent (3), harflar — harfli qism. Birhadning darajasi — harflar darajalarining yig‘indisi: $3 x^{2} y$ uchun $2 + 1 = 3$ .

Birhadlarni ko‘paytirish va bo‘lish

$2 x \cdot 3 x$ — tomonlari $2 x$ va $3 x$ bo‘lgan to‘rtburchak: 6 ta $x^{2}$ katak, demak $6 x^{2}$ . Qoida: koeffitsiyentlar ko‘paytiriladi, bir xil harflarning darajalari qo‘shiladi: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ . Bo‘lish — teskarisi: darajalar ayiriladi, $6 x^{2} : 2 x = 3 x$ (yuza $6 x^{2}$ , bo‘yi $2 x$ — eni $3 x$ ); bo‘luvchi nolga teng bo‘lmasligi kerak, ya’ni $x \neq 0$ . Natija birhad bo‘lishi uchun koeffitsiyentlar bo‘linishi va bo‘linuvchidagi darajalar kichik bo‘lmasligi kerak.

Ko‘phad, o‘xshash hadlar, standart shakl

Birhadlar yig‘indisi — ko‘phad: $x^{2} + 3 x + 2 x + 6$ . Harfli qismi bir xil hadlar — o‘xshash hadlar ( $3 x$ va $2 x$ ); ularni birlashtirish — ixchamlash: $5 x$ . O‘xshash hadlari yo‘q va har bir hadi standart shaklda bo‘lgan ko‘phad — standart shakldagi ko‘phad; odatda hadlar darajasi kamayish tartibida yoziladi: $x^{2} + 5 x + 6$ . Ko‘phadning darajasi — eng katta had darajasi (2).

Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish

Qo‘shishda qavslar shunchaki ochiladi; ayirishda ayriluvchi ko‘phadning har bir hadi ishorasini o‘zgartiradi: $(2 x^{2} + 3 x - 1) - (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x^{2} + 3 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4 = x^{2} + 8 x - 5$ . Ko‘paytirish — yuza modeli: $(x + 3) (x + 5)$ to‘rtburchagi $x \cdot x$ , $x \cdot 5$ , $3 \cdot x$ , $3 \cdot 5$ bo‘laklaridan iborat — har bir had har bir hadga ko‘paytiriladi, keyin o‘xshash hadlar yig‘iladi.

Bo‘lish va ko‘paytuvchilarga ajratish

Ko‘phadni birhadga bo‘lish — har bir hadni alohida bo‘lish: $(6 x^{2} + 4 x) : 2 x = 3 x + 2$ . Ko‘phadni ko‘phadga bo‘lish — yuza modelida teskari masala: bo‘laklarni bo‘yi $x + 2$ bo‘lgan to‘rtburchakka joylasak, eni $x + 3$ — bo‘linma. Ko‘paytuvchilarga ajratish — ko‘phadni ko‘paytma ko‘rinishida yozish: umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqarish ( $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ ), guruhlash ( $a b + a c + b^{2} + b c = (a + b) (b + c)$ ). Tekshiruv — qaytadan ko‘paytirish.

Model haqida

Chizmalarda $x$ — ma’lum bir uzunlik (aslida ixtiyoriy son), manfiy hadlar qizil plitkalar bilan shartli ko‘rsatiladi: manfiy yuza yo‘q, bu faqat ishora belgisi. Slayderlardagi koeffitsiyentlar kichik butun sonlar; bo‘lish faqat qoldiqsiz hollarda ko‘rsatiladi (qoldiqli bo‘lish — keyingi sinflarda). Qisqa ko‘paytirish formulalari — alohida tajribada.

Bilasizmi?

«Ko‘phad» — «polinom» so‘zining tarjimasi: yunoncha «poly» (ko‘p) va lotincha «nomen» (nom, had). Ikki hadli ko‘phad — binom, uch hadli — trinom.
Sonlarni ustun usulida ko‘paytirish — aslida ko‘phadlarni ko‘paytirish: $23 \cdot 45 = (2 \cdot 10 + 3) (4 \cdot 10 + 5)$ , ya’ni $x = 10$ bo‘lganda $(2 x + 3) (4 x + 5)$ ning qiymati.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.