Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Формулы сокращённого умножения

Ковёр расширили со всех сторон на b — какие части у (a + b)²? Вычислите 55² в уме

Ситуация

Сторона квадратного ковра — a метров. Мы расширили его с двух сторон на b метров — теперь сторона a + b. Новая площадь (a + b)² — но это не a² + b²! Если нарисовать, получится четыре части: старый ковёр a², два одинаковых прямоугольника ab и маленький квадрат b² в углу. А что, если из квадратной каменной плиты вырезать в углу квадрат b × b — можно ли оставшуюся часть превратить в прямоугольник? Эти рисунки и есть формулы сокращённого умножения: они помогают даже вычислять в уме 55² или 101 · 99.

Тема

Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разности, разность квадратов, кубы, разложение на множители. Ковёр-квадрат с расширенной каймой: части квадрата (a + b)², a² − b² превращается в прямоугольник, куб (a + b)³

Ключевые понятия

(a + b)²
a² − b²
(a + b)³

Формулы

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

Квадрат суммы и разности: оба квадрата и удвоенное произведение — на рисунке четыре части.

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Разность квадратов: квадрат с вырезанным углом превращается в прямоугольник.

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Куб суммы: куб разделяется на 8 частей — 1 + 3 + 3 + 1.

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})

Сумма и разность кубов: при умножении средние члены взаимно уничтожаются парами.

Теория

Квадрат суммы и разности

Квадрат со стороной $a + b$ двумя разрезами делится на четыре части: $a^{2}$ , два $a b$ и $b^{2}$ . Поэтому ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ — не забывайте удвоенное произведение: ${(a + b)}^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ . Квадрат разности: из $a^{2}$ дважды вычитается $a b$ , но угловой $b^{2}$ вычтен дважды — возвращаем его: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ . Вычисление в уме: $55^{2} = {(50 + 5)}^{2} = 2500 + 500 + 25 = 3025$ .

Разность квадратов

Вырежем из квадрата со стороной $a$ угловой квадрат $b \times b$ : площадь равна $a^{2} - b^{2}$ . Если оставшуюся фигуру одним разрезом разделить на две части и повернуть одну, получится прямоугольник со сторонами $a - b$ и $a + b$ : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . В уме: $101 \cdot 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 000 - 1 = 9 999$ .

Куб суммы и куб разности

Куб с ребром $a + b$ тремя плоскостями делится на 8 частей: один $a^{3}$ , три $a^{2} b$ , три $a b^{2}$ и один $b^{3}$ : ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Если вместо $b$ подставить $- b$ , члены с нечётными степенями $b$ меняют знак: ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ . Коэффициенты $1, 3, 3, 1$ — строка треугольника Паскаля.

Сумма и разность кубов

Если умножить $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , получится шесть членов, четыре из которых взаимно уничтожаются парами: $- a^{2} b$ с $+ a^{2} b$ , $+ a b^{2}$ с $- a b^{2}$ . Остаётся $a^{3} + b^{3}$ . Аналогично $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ . Выражение во второй скобке называется неполным квадратом ( $a^{2} - a b + b^{2}$ — неполный квадрат разности, $a^{2} + a b + b^{2}$ — неполный квадрат суммы): в нём стоит не удвоенное, а обычное произведение.

Разложение на множители и применение

Формулы в обратную сторону раскладывают на множители: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ; $4 x^{2} + 12 x + 9 = {(2 x)}^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = {(2 x + 3)}^{2}$ . Проверка, что трёхчлен — полный квадрат: крайние члены — квадраты, а средний — удвоенное произведение их корней. Выделение полного квадрата: $x^{2} + 6 x + 5 = (x^{2} + 6 x + 9) - 4 = {(x + 3)}^{2} - 4$ — это мост к решению квадратных уравнений.

О модели

Рисунки сделаны для $a > b > 0$ — только тогда все части имеют положительную площадь. Сами же формулы верны для любых чисел, в том числе отрицательных: их можно доказать алгебраически по правилу умножения многочленов. В модели куба рёбра 1–3 единицы; ограничены ползунки, а не формулы.

Знаете ли вы?

Формулу ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ Евклид доказал геометрически — через части квадрата — во II книге «Начал» (около 300 г. до н. э.), теорема 4.
Треугольник чисел, дающий коэффициенты ${(a + b)}^{n}$ (1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1 …), в Европе известен как треугольник Паскаля, но его за несколько веков до этого знали и Омар Хайям (XI век), и китайский математик Ян Хуэй (XIII век).

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Выражения: от числа к букве — 7 класс
Одночлены и многочлены — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс