Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Выражения: от числа к букве

Такси: 5 000 сум + 2 000 сум за каждый км. Сколько за x км? Как раскрываются скобки?

Ситуация

Приложение такси считает цену так: посадка 5 000 сум, каждый километр 2 000 сум. Чек за 7 км — 5 000 + 2 000 · 7. Завтра вы проедете 12 км, послезавтра 3 км: вместо того чтобы каждый раз писать заново, обозначим расстояние буквой — 5 000 + 2 000x. Длина ограды сада 2(a + b) — тоже такая формула. Как работать с буквенными выражениями: как раскрываются скобки, как складываются подобные слагаемые?

Тема

Числовые и алгебраические выражения, формулы, раскрытие скобок, коэффициент, свойства действий. Такси, интернет-тариф и садовая ограда: правило, сказанное словами, превращается в буквенное выражение, раскрываются скобки, приводятся подобные слагаемые

Ключевые понятия

Алгебраическое выражение
Раскрытие скобок
Подобные слагаемые

Формулы

5 000 + 2 000 \cdot x

Алгебраическое выражение: числа, буквы и действия. Если вместо буквы подставить число, получится значение выражения: при $x = 4$ — 13 000.

P = 2 (a + b), S = a \cdot b

Формулы — буквенные равенства: периметр и площадь прямоугольника при любых $a$ , $b$ .

a (b + c) = a b + a c, - (b - c) = - b + c

Раскрытие скобок: распределительное свойство; минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого.

2 x + 3 + 4 x - 1 = (2 + 4) x + (3 - 1) = 6 x + 2

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью — коэффициенты складываются.

Теория

Числовое выражение и его значение

Запись из чисел, знаков действий ( $+$ , $-$ , $\cdot$ , $:$ ) и скобок — числовое выражение: $5 000 + 2 000 \cdot 7$ . Число, получаемое после выполнения действий, — значение выражения. Порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание. Поэтому чек такси равен $5 000 + 14 000 = 19 000$ , а не $7 000 \cdot 7$ .

Алгебраическое выражение

Если есть буквы — это алгебраическое выражение: $5 000 + 2 000 x$ . Буква заменяет любое число; если подставить конкретное число, находим значение выражения при этом числе: при $x = 4$ получаем $5 000 + 8 000 = 13 000$ . В таблице каждому $x$ соответствует одно значение — позднее это назовут функцией. У буквы есть и допустимые значения: расстояние не бывает отрицательным, на нуль делить нельзя.

Формулы — буквенные равенства

Если два выражения соединить знаком равенства — получится алгебраическое равенство; равенство, выражающее правило связи между величинами, называется формулой: периметр $P = 2 (a + b)$ , площадь $S = a b$ , путь $s = v \cdot t$ . Формула верна не для одного сада, а для любых $a$ и $b$ ; на третьей ступени проверьте, двигая угол.

Раскрытие скобок и коэффициент

Распределительное свойство $a (b + c) = a b + a c$ : $3 (x + 2)$ — прямоугольник высотой 3 и шириной $x + 2$ ; если разрезать его на два, получим $3 x + 6$ . Если перед скобкой минус, это умножение на $(- 1)$ : $- (x - 4) = - x + 4$ — знак каждого слагаемого меняется. Числовой множитель перед буквой — коэффициент: в $3 x$ это 3, в $x$ это 1, в $- x$ это $- 1$ .

Свойства действий и подобные слагаемые

Переместительное свойство $a + b = b + a$ , $a b = b a$ ; сочетательное $(a + b) + c = a + (b + c)$ ; распределительное $a (b + c) = a b + a c$ . С их помощью упростим $2 x + 3 + 4 x - 1$ : ставим слагаемые с $x$ рядом, группируем, $(2 + 4) x + (3 - 1) = 6 x + 2$ . Слагаемые с одинаковой буквенной частью — подобные слагаемые; складывать можно только их: $2 x + 3$ упростить дальше нельзя.

О модели

В эксперименте рассматриваются только линейные выражения (буква в первой степени) с целыми или обыкновенными дробными коэффициентами; квадрат буквы и многочлены — в эксперименте «Одночлены и многочлены», деление на букву — в «Алгебраических дробях». Тариф такси упрощён: настоящие приложения добавляют ещё время ожидания и минимальную цену. Ползунки ограничены, а формулы верны для любого числа.

Знаете ли вы?

Слово «алгебра» происходит от слова «аль-джабр» («восполнение») в труде Мухаммада аль-Хорезми «Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр валь-мукабала», написанном в IX веке.
Знак равенства «=» ввёл в 1557 году валлийский математик Роберт Рекорд, объяснив: «нет ничего более равного, чем две параллельные линии». Последовательно обозначать неизвестные буквами начал французский математик Франсуа Виет в конце XVI века.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Одночлены и многочлены — 7 класс
Формулы сокращённого умножения — 7 класс
Алгебраические дроби — 7 класс
Линейное уравнение: весы — 7 класс
Системы уравнений — 7 класс
Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
Квадратное уравнение: парабола — 8 класс