Математика · Выражения, уравнения и неравенства · 7 класс

Алгебраические дроби

Одна труба наполняет бассейн за 4 часа, другая — за 12 часов. А если обе вместе?

Открыть эксперимент

Ситуация

В бассейн льют воду две трубы: первая одна наполняет его за 4 часа, вторая — за 12 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть обе трубы сразу? За час первая труба наливает 1/4 бассейна, вторая — 1/12, значит, дроби нужно сложить. Если обозначить время труб через a и b, получится 1/a + 1/b — дробь с буквами в числителе и знаменателе. Как правила числовых дробей переносятся на дроби с буквами?

Тема

Алгебраические дроби: сокращение, общий знаменатель, сложение, вычитание, умножение, деление, дробно-рациональные выражения. Бассейн с двумя трубами: 1/a + 1/b — дроби времени; правила числовых дробей переносятся на буквенные дроби

Ключевые понятия

• Сокращение
• Общий знаменатель
• Дробное уравнение

Формулы

Алгебраическая дробь: числитель $P$ и знаменатель $Q$ — многочлены. При значениях, обращающих знаменатель в нуль, дробь не определена.

Сокращение: раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем общий множитель ($x\ne 0$, $x\ne -2$).

Общий знаменатель: умножаем каждую дробь на дополнительный множитель и приводим дроби к одному знаменателю; бассейн наполняется двумя трубами вместе за $t={\displaystyle \frac{ab}{a+b}}$ ч.

Умножение — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель; деление — умножение на перевёрнутую вторую дробь.

Теория

Алгебраическая дробь и область определения

Выражение, у которого числитель и знаменатель — многочлены, называется алгебраической дробью: ${\displaystyle \frac{x}{x-2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$. Если подставить вместо букв числа, дробь станет числом: при $x=5$ получим ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. Но при $x=2$ знаменатель равен $0$ — делить на нуль нельзя, и дробь не определена. Значения букв, при которых дробь имеет смысл, образуют область определения: $x\ne 2$. Перед любым преобразованием мы выписываем значения, обращающие знаменатель в нуль.

Основное свойство и сокращение

Как и для числовых дробей: если числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, дробь не изменится. Чтобы сократить дробь, сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители — общий множитель не виден, пока скобки раскрыты: ${\displaystyle \frac{x^2-4}{x^2+2x}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}}={\displaystyle \frac{x-2}{x}}$. Сокращённая дробь равна исходной только при $x\ne -2$ (исходная при $x=-2$ не определена). Частая ошибка — «сокращать» $x$ в дроби ${\displaystyle \frac{x+2}{x+3}}$: здесь $x$ не множитель, а слагаемое.

Общий знаменатель

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю — обычно к наименьшему общему кратному. Для чисел $4$ и $12$ НОК равно $12$; для многочленов раскладываем каждый знаменатель на множители и берём каждый множитель один раз в наибольшей степени: для $x^2-1=(x-1)(x+1)$ и $x+1$ общий знаменатель — $(x-1)(x+1)$. Каждая дробь умножается на свой дополнительный множитель. В задаче о бассейне: ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ — за час наполняется треть бассейна, значит, он наполнится за $3$ ч.

Сложение и вычитание

У дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются (вычитаются), а знаменатель не меняется. Если знаменатели разные, сначала находим общий знаменатель: ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$. При вычитании второй числитель обязательно берём в скобки: $-(x-1)=-x+1$. Результат всегда проверяйте: при $x=4$ левая часть равна ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$, правая часть — ${\displaystyle \frac{2}{15}}$.

Умножение, деление, тождественные преобразования

При умножении числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель, но лучше сначала разложить на множители и сократить: ${\displaystyle \frac{x^2-4}{3x}}\cdot {\displaystyle \frac{6x^2}{x+2}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)\cdot 6x^2}{3x(x+2)}}=2x(x-2)$. При делении вторая дробь переворачивается: ${\displaystyle \frac{P}{Q}}:{\displaystyle \frac{R}{S}}={\displaystyle \frac{P}{Q}}\cdot {\displaystyle \frac{S}{R}}$. Выражение с несколькими действиями упрощают шаг за шагом — это тождественное преобразование: результат равен исходному выражению в каждой точке области определения, например $({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}):{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}=1$.

Дробные уравнения и замечание о модели

Уравнение, в знаменателе которого есть неизвестное, — дробно-рациональное: ${\displaystyle \frac{3}{x-1}}={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$. Сначала находим область определения ($x\ne 1$, $x\ne -1$), затем умножаем обе части на общий знаменатель: $3(x+1)=2(x-1)$, $x=-5$ — это значение входит в область определения, значит, это корень. Если найденное число обращает знаменатель в нуль, это посторонний корень, его отбрасывают: из ${\displaystyle \frac{x}{x-3}}={\displaystyle \frac{3}{x-3}}$ получаем $x=3$, но $x\ne 3$ — у уравнения нет корней. В эксперименте дроби проверяются в виде десятичных дробей с точностью до двух знаков или сокращённых обыкновенных дробей; в модели бассейна считается, что трубы наливают воду равномерно.

Знаете ли вы?

• Запись дроби с горизонтальной чертой встречается в сочинениях математика аль-Хассара, жившего в XII веке в Магрибе; в Европу эту запись принёс Фибоначчи в книге «Liber abaci» (1202).
• Формула из задачи о бассейне работает и в физике: общее сопротивление двух параллельно соединённых проводников из ${\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{R_1}}+{\displaystyle \frac{1}{R_2}}$ равно $R={\displaystyle \frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}$ — точно так же, как общее время двух труб.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

• Выражения: от числа к букве — 7 класс
• Одночлены и многочлены — 7 класс
• Формулы сокращённого умножения — 7 класс
• Линейное уравнение: весы — 7 класс
• Системы уравнений — 7 класс
• Неравенства: луч и промежуток — 8 класс
• Квадратное уравнение: парабола — 8 класс