Физика · Атомная и квантовая физика · 3 курс

Сверхпроводимость

Почему диск, охлаждённый жидким азотом, парит над магнитом?

Ситуация

В 1911 году в лаборатории в Лейдене команда Хейке Камерлинг-Оннеса измерила электрическое сопротивление ртути, охлаждённой жидким гелием, и увидела, что при температуре около 4,2 К сопротивление вдруг исчезло. Сегодня на выставках чёрный керамический диск, охлаждённый жидким азотом, парит в воздухе над магнитом, а МРТ-томограф в больнице создаёт сильное поле с помощью незатухающего тока в сверхпроводящей катушке. Как получается, что сопротивление становится в точности равным нулю, и почему холодный диск бежит от магнита и «застывает» над ним?

Тема

Сверхпроводимость. Диск, охлаждённый жидким азотом, парит над магнитом (эффект Мейснера)

Ключевые понятия

Эффект Мейснера
Куперовские пары
Критическая температура

Формулы

B_{c} (T) = B_{c 0} [1 - {(\frac{T}{T_{c}})}^{2}]

Критическое поле: в более сильном поле сверхпроводимость разрушается.

Δ C = \frac{V T_{c}}{μ_{0}} {(\frac{d B_{c}}{d T})}_{T_{c}}^{2} = \frac{4 B_{c 0}^{2} V}{μ_{0} T_{c}}

Формула Рутгерса: скачок теплоёмкости при $T_{c}$ ( $V$ — молярный объём).

B (x) = B_{0} e^{- x / λ_{L}}, λ_{L} = \sqrt{\frac{m}{μ_{0} n_{s} e^{2}}}

Решение уравнения Лондонов: поле затухает от поверхности на глубине $λ_{L}$ .

2 Δ (0) \approx 3,53 k_{B} T_{c}

Теория БКШ: энергия, необходимая для разрыва куперовской пары.

I = I_{c} \sin φ, f = \frac{2 e V}{h}, Φ_{0} = \frac{h}{2 e} = 2,068 \cdot 10^{- 15} Vb

Эффекты Джозефсона и квант магнитного потока.

Теория

Сопротивление исчезает: основные опытные факты

Оннес увидел, что сопротивление ртути скачком падает до нуля при $T_{c} \approx 4,15$ К. Понижая температуру в криостате, повторите это на графике $R (T)$ : выше сопротивление уменьшается, потому что убывают колебания решётки (фононы), а при $T_{c}$ оно исчезает скачком. Медь же не стала сверхпроводником даже при самых низких достигнутых температурах — в ней остаётся остаточное сопротивление. Ток, возбуждённый в кольце из сверхпроводника, не затухает ( $τ = L / R \to \infty$ ). Сверхпроводимость разрушается, если превышены критическая температура, критическое поле $B_{c}$ или критический ток. В нормальном металле и тепло, и ток переносят одни и те же электроны: закон Видемана–Франца $κ / (σ T) = L_{0} \approx 2,44 \cdot 10^{- 8}$ Вт·Ом/К² (подробнее — в эксперименте «Электрический ток в металлах»). В сверхпроводнике $σ \to \infty$ , а теплопроводность не растёт: пары не переносят энтропию — закон нарушается.

Термодинамика фазового перехода: формула Рутгерса

Свободная энергия сверхпроводящего состояния меньше, чем нормального, на $B_{c}^{2} / 2 μ_{0}$ на единицу объёма (энергия конденсации). Переход без поля — фазовый переход второго рода: скрытой теплоты нет, но теплоёмкость испытывает скачок. Термодинамика связывает этот скачок с наклоном кривой $B_{c} (T)$ при $T_{c}$ — формула Рутгерса; для свинца она даёт ≈ 52 мДж/(моль·К). Двухжидкостная модель на графике $C (T)$ в точности воспроизводит этот скачок; теория БКШ предсказывает $Δ C = 1,43 γ T_{c}$ . На границе нормальной и сверхпроводящей областей есть поверхностная энергия, примерно $(ξ - λ) B_{c}^{2} / 2 μ_{0}$ на единицу площади. При $ξ > λ$ она положительна — границы «дорогие», это I рода; при $κ = λ / ξ > 1 / \sqrt{2}$ отрицательна — поле входит тонкими вихрями, это II рода.

Эффект Мейснера и уравнения Лондонов

В 1933 году Мейснер и Оксенфельд обнаружили, что сверхпроводник выталкивает поле из своего объёма: он не просто идеальный проводник с $R = 0$ — диск I рода, охлаждённый в поле, тоже вытесняет поле и поднимается вверх. Братья Лондоны (1935) предложили уравнение $\nabla \times 𝐣_{s} = - (n_{s} e^{2} / m) 𝐁$ : поле затухает от поверхности вглубь как $B_{0} e^{- x / λ_{L}}$ (при $n_{s} = 10^{28}$ м⁻³ $λ_{L} \approx 53$ нм). Незатухающие токи на поверхности отталкивают магнит. Сила вычисляется методом зеркального диполя: считается, что за сверхпроводником есть обратно направленный магнит-«изображение», $F = 3 μ_{0} m^{2} / (32 π h^{4})$ . В сверхпроводниках II рода (YBCO, Nb) поле, сильнее $B_{c 1}$ , входит вихрями Абрикосова, каждый из которых несёт один $Φ_{0}$ ; вихри, «закреплённые» на дефектах, удерживают диск на месте — поэтому диск, охлаждённый в поле, висит и под магнитом.

Куперовские пары и теория БКШ

По теории Бардина, Купера и Шриффера (1957), движущийся электрон слегка притягивает положительные ионы; оставшийся позади положительный «след» (фонон) притягивает второй электрон. Электроны с противоположными импульсами и спинами образуют куперовскую пару. Все пары находятся в одном квантовом состоянии: чтобы рассеять одну из них, нужна энергия не менее $2 Δ$ , а при низкой температуре такой энергии нет — сопротивление равно нулю. БКШ: $2 Δ (0) = 3,53 k_{B} T_{c}$ , а $Δ (T)$ падает до нуля при $T_{c}$ (на графике приближённая формула). Энергетическая щель видна в туннельной спектроскопии: график $d I / d V$ перехода нормальный металл–изолятор–сверхпроводник даёт пик при $e V = \pm Δ$ . Изотопический эффект ( $T_{c} \propto M^{- 1 / 2}$ , 1950) доказал участие решётки. Размер пары — длина когерентности $ξ_{0} \approx ℏ v_{F} / π Δ$ — от десятков нанометров до микрометра: внутри одной пары миллионы других пар, поэтому анимация схематична.

Эффекты Джозефсона и СКВИД

Пары туннелируют сквозь очень тонкий изолятор между двумя сверхпроводниками (Джозефсон, 1962). Стационарный эффект: ток течёт и без напряжения, $I = I_{c} \sin φ$ , где $φ$ — разность фаз волновых функций по обе стороны. Нестационарный эффект: при напряжении $V$ фаза непрерывно растёт, и ток колеблется с частотой $f = 2 e V / h$ — 483,6 МГц на каждый микровольт; современный эталон вольта основан на этом эффекте. Кольцо с двумя переходами — СКВИД: критический ток периодически зависит от потока через кольцо, $I_{c} = 2 I_{0} | \cos (π Φ / Φ_{0}) |$ , с периодом — квантом потока $Φ_{0} = h / 2 e$ . То, что в нём стоит « $2 e$ », — прямое доказательство того, что носители тока — пары. СКВИД чувствует даже очень слабые поля, создаваемые мозгом и сердцем. Модель: индуктивность кольца не учитывается, переходы одинаковы и сильно демпфированы.

Высокотемпературные сверхпроводники и сверхтекучесть

В 1986 году Беднорц и Мюллер обнаружили сверхпроводимость в медно-оксидной керамике около 35 К, а в 1987 году YBa₂Cu₃O₇ (YBCO) с $T_{c} \approx 92$ К преодолел границу жидкого азота (77 К). Такие купраты — II рода; механизм спаривания в них до конца не объяснён, а сопротивление в нормальном состоянии почти линейно зависит от температуры. MgB₂ (2001) — 39 К. Большинство МРТ-томографов используют катушку с проводом из NbTi и работают в жидком гелии (4,2 К). Жидкий ⁴He ниже 2,17 К (λ-точка) становится сверхтекучим (Капица; Аллен и Мизенер, 1938): вязкость исчезает, а теплопроводность так велика, что пузырьки не успевают образоваться — кипение вдруг прекращается. Тонкая плёнка ползёт по стенке сосуда и капает наружу. Упрощения модели: охлаждение ускорено; ртуть затвердевает при 234 К — $R (T)$ для твёрдой ртути (формула Блоха–Грюнайзена), сопротивление образца принято $R (300 K) = 10 Ω$ .

Знаете ли вы?

Хейке Камерлинг-Оннес первым в 1908 году сжижил гелий, а в 1911 году открыл сверхпроводимость в ртути; в 1913 году получил Нобелевскую премию по физике.
YBa₂Cu₃O₇ (YBCO) открыт в 1987 году: его $T_{c} \approx 92$ К — первый сверхпроводник с температурой выше точки кипения жидкого азота (77 К). А жидкий азот намного дешевле жидкого гелия.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Многоэлектронные атомы — 1 курс
Зоны в твёрдых телах — 1 курс
Шрёдингер и туннельный эффект — 3 курс
Квантовые точки и потенциальная яма — 3 курс
Молекула: связь и спектр — 3 курс