Физика · Атомная и квантовая физика · 3 курс

Квантовые точки и потенциальная яма

Почему квантовые точки из одного и того же вещества светятся разными цветами в зависимости от размера?

Ситуация

В ташкентском магазине электроники цвета QLED-телевизора особенно яркие и чистые. Внутри экрана — полупроводниковые кристаллики диаметром в несколько нанометров, квантовые точки: при попадании синего света они излучают зелёный или красный. Самое интересное, что зелёные и красные точки могут быть сделаны из одного и того же вещества — разница только в размере. В лаборатории пробирки с раствором точек CdSe, различающихся только размером, под ультрафиолетовой лампой светятся всеми цветами радуги. Почему чем меньше кристалл, тем более синий его свет?

Тема

Потенциальная яма и квантовый осциллятор. Экран на квантовых точках: энергия частицы в ящике квантуется

Ключевые понятия

Квантование энергии
Волновая функция
Нулевые колебания

Формулы

\hat{H} ψ = E ψ, \hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x)

Стационарное уравнение Шрёдингера: $\hat{H}$ — оператор Гамильтона (энергии), $E$ — его собственное значение, $ψ$ — собственная функция.

E_{n} = \frac{π^{2} ℏ^{2} n^{2}}{2 m L^{2}} = \frac{n^{2} h^{2}}{8 m L^{2}}, ψ_{n} = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n π x}{L}

Бесконечно глубокая яма (стенки при $x = 0$ и $x = L$ ). Для электрона при $L = 1$ нм $E_{1} = 0,376$ эВ.

z \tan z = \sqrt{z_{0}^{2} - z^{2}}, - z \cot z = \sqrt{z_{0}^{2} - z^{2}}, z_{0} = \frac{L}{2} \frac{\sqrt{2 m V_{0}}}{ℏ}

Конечная яма: чётные и нечётные состояния ( $z = k L / 2$ ). Число связанных состояний $N = ⌈ 2 z_{0} / π ⌉$ .

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}), \hat{H} = ℏ ω ({\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2}), {\hat{a}}^{†} | n ⟩ = \sqrt{n + 1} | n + 1 ⟩

Гармонический осциллятор: наименьшая энергия $ℏ ω / 2$ (нулевые колебания), $\hat{a}, {\hat{a}}^{†}$ — операторы уничтожения и рождения.

E \approx E_{g} + \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 R^{2}} (\frac{1}{m_{e}^{*}} + \frac{1}{m_{h}^{*}}) - \frac{1,786 e^{2}}{4 π ε ε_{0} R}

Квантовая точка (модель Брюса): электрон и дырка заперты в шаре радиуса $R$ ; последний член — их кулоновское притяжение.

Теория

Волновая функция и операторы

$| ψ (x) |^{2}$ — плотность вероятности обнаружить частицу в точке $x$ , поэтому $\int | ψ |^{2} d x = 1$ . Состояния можно складывать (принцип суперпозиции). Каждой измеряемой величине соответствует эрмитов оператор: $\hat{x} = x$ , $\hat{p} = - i ℏ d / d x$ , $\hat{H} = {\hat{p}}^{2} / 2 m + V$ . Собственные значения эрмитова оператора вещественны, а собственные функции ортогональны и образуют полный набор — в режиме «Яма» видно $⟨ ψ_{n} | ψ_{n + 1} ⟩ \approx 10^{- 13}$ . Среднее значение $⟨ A ⟩ = \int ψ^{*} \hat{A} ψ d x$ , дисперсия $Δ A^{2} = ⟨ A^{2} ⟩ - {⟨ A ⟩}^{2}$ . Поскольку $[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ$ , $x$ и $p$ нельзя одновременно измерить точно: $Δ x Δ p \geq ℏ / 2$ (в яме для n = 1 ≈ 0,568ħ). Для свободной частицы ( $V = 0$ ) $ψ = e^{i k x}$ , $E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m$ — спектр непрерывный, а спектр связанных состояний дискретный.

Потенциальная яма

В бесконечной яме между стенками должно укладываться целое число полуволн: $L = n λ / 2$ , поэтому $E_{n} \propto n^{2} / L^{2}$ . Если сузить яму в 2 раза, уровни поднимутся в 4 раза — именно поэтому меняется цвет квантовой точки. В конечной яме $ψ$ «просачивается» в стенку по закону $e^{- κ | x |}$ (классически запрещённая область; сквозь тонкую стенку это приводит к туннельному эффекту и альфа-распаду — эксперименты «Шрёдингер и туннельный эффект» и «Радиоактивность, период полураспада»), поэтому уровни ниже, чем в бесконечной яме, и их число конечно. Уровни здесь находит численный метод: $\hat{H}$ на сетке превращается в трёхдиагональную матрицу, собственные значения ищутся последовательностью Штурма, а функции — обратной итерацией; результат сравнивается с трансцендентным уравнением. Одно и то же состояние записывается в представлениях координаты ( $ψ (x)$ ), импульса ( $| φ (k) |^{2}$ — два пика около $\pm n π / L$ (при $n \geq 2$ )) и энергии (коэффициенты $c_{n}$ ).

Гармонический осциллятор

В параболическом потенциале $E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2})$ — уровни равноотстоящие, а нижний уровень не равен нулю: энергия нулевых колебаний $ℏ ω / 2$ . Собственные функции — функции Эрмита–Гаусса. Алгебраическое решение: $[\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] = 1$ , ${\hat{a}}^{†}$ поднимает уровень на единицу, $\hat{a}$ опускает, $\hat{a} | 0 ⟩ = 0$ . В энергетическом представлении у матрицы $\hat{x}$ отличны от нуля только элементы $x_{n, n \pm 1}$ — поэтому в гармоническом приближении молекула HCl поглощает инфракрасное излучение только при переходах $Δ n = \pm 1$ (правило отбора). Для молекулы вместо массы берут приведённую массу $μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})$ (для HCl 0,98 а. е. м.) — движение ядра в водородоподобных атомах учитывается так же. Для трёхмерного изотропного осциллятора $E = ℏ ω (n_{x} + n_{y} + n_{z} + \frac{3}{2})$ ; центрально-симметричное поле, ${\hat{L}}^{2}$ , ${\hat{L}}_{z}$ и водородоподобные атомы — в эксперименте «Орбитали атома водорода».

Приближённые методы

Теория возмущений: если $\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + \hat{W}$ , то в первом порядке $Δ E_{n} = ⟨ n | \hat{W} | n ⟩$ ; добавьте к осциллятору $g ξ^{4}$ и сравните это с точным численным решением — при малом $g$ хорошо, при большом хуже. На вырожденных уровнях (например, состояния $(1,2)$ и $(2,1)$ в квадратном ящике) возмущение требует сначала правильно смешать состояния, и уровень расщепляется надвое — так устроен эффект Штарка (эксперимент «Спин, эффект Зеемана и МРТ»). Вариационный метод: для любой пробной функции $⟨ H ⟩ \geq E_{0}$ — кривая $E (β)$ на графике никогда не опускается ниже точного $E_{0}$ . Метод ВКБ (квазиклассический) и условие Бора–Зоммерфельда $\oint p d x = (n + \frac{1}{2}) h$ для осциллятора точны, для ангармонического потенциала точнее при больших $n$ . При зависящем от времени возмущении вероятность перехода пропорциональна $| ⟨ f | \hat{x} | i ⟩ |^{2}$ (золотое правило Ферми) — так объясняются излучение и поглощение (эксперимент «Физика лазера и голография»).

Изменение во времени

$i ℏ \partial ψ / \partial t = \hat{H} ψ$ . Стационарное состояние приобретает лишь фазу $e^{- i E t / ℏ}$ — $| ψ |^{2}$ не меняется. В суперпозиции двух состояний $| ψ |^{2}$ колеблется внутри ямы, период $⟨ x ⟩$ равен $T = h / (E_{2} - E_{1})$ . Поток вероятности $j = \frac{ℏ}{m} Im (ψ^{*} \partial_{x} ψ)$ удовлетворяет уравнению непрерывности: $\partial_{t} | ψ |^{2} + \partial_{x} j = 0$ (число частиц сохраняется; на панели $d P_{лев} / d t = - j (0)$ ). Оператор эволюции $e^{- i \hat{H} t / ℏ}$ унитарен — норма остаётся равной 1. Среднее значение оператора меняется по закону $d ⟨ A ⟩ / d t = \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩$ ; отсюда теорема Эренфеста: $m d ⟨ x ⟩ / d t = ⟨ p ⟩$ (на панели обе величины равны). Величины, коммутирующие с $\hat{H}$ (энергия, чётность), — интегралы движения. Это картина Шрёдингера (меняется состояние); в картине Гейзенберга меняются операторы, $x_{m n} (t) = x_{m n} e^{i ω_{m n} t}$ ; картина взаимодействия удобна в теории возмущений.

Квантовые точки и нанотехнологии

Нанотехнология — структуры размером 1–100 нм, свойства которых зависят от размера. По числу направлений, в которых заперт электрон: квантовая яма (тонкий слой, например GaAs между слоями AlGaAs — в лазерных диодах), квантовая нить и квантовая точка (заперт со всех сторон, «искусственный атом»); плотность состояний при переходе от 3D к 0D меняется от непрерывной к дискретным линиям (на экране). Модель Брюса правильно даёт тенденцию ( $E \propto 1 / R^{2}$ ), но завышает энергию у малых точек: стенки на деле не бесконечны, зоны не параболичны. Поэтому цвета пробирок взяты по измеренной кривой (Ю и др., 2003, первый пик поглощения для CdSe); цвет люминесценции близок к этому пику, чуть краснее. На один уровень по принципу Паули помещается не более двух электронов с противоположными спинами (эксперименты «Спин, эффект Зеемана и МРТ» и «Многоэлектронные атомы»). Параметры CdSe: $E_{g} = 1,74$ эВ, $m_{e}^{*} = 0,13 m_{e}$ , $m_{h}^{*} = 0,45 m_{e}$ , $ε = 10,6$ .

Знаете ли вы?

Нобелевская премия по химии 2023 года присуждена Мунги Бавенди, Луису Брюсу и Алексею Екимову за открытие и синтез квантовых точек. Екимов в начале 1980-х показал зависимость цвета от размера у нанокристаллов хлорида меди в цветном стекле, а Брюс — у частиц в жидкости.
Гелий при обычном давлении остаётся жидким даже вблизи абсолютного нуля: чтобы его затвердить, нужно примерно 25 атмосфер. Причина — энергия нулевых колебаний лёгких атомов велика, а притяжение между ними очень слабое.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.