Физика · Атомная и квантовая физика · 1 курс

Спин, эффект Зеемана и МРТ

Почему пучок атомов серебра в магните раздваивается и как МРТ «видит» тело?

Ситуация

В клинике пациента укладывают в аппарат МРТ. Магнитное поле внутри аппарата — 1,5 Тл, это в десятки тысяч раз сильнее магнитного поля Земли. Каждое ядро водорода в нашем теле — протон — похоже на крошечный магнит, но этот «магнитик» не может смотреть в любую сторону: в 1922 году, когда Отто Штерн и Вальтер Герлах пропустили пучок атомов серебра через неоднородное магнитное поле, пучок не растянулся равномерно, а чётко разделился на две части. Почему этот «магнитик» микромира — спин — бывает только в двух состояниях и как с помощью радиоволн он показывает, что находится внутри тела?

Тема

Спин, эффект Зеемана и МРТ. Аппарат МРТ в больнице и опыт Штерна — Герлаха

Ключевые понятия

Спин и магнетон Бора
Эффект Зеемана
Магнитный резонанс

Формулы

μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m_{e}} = 9,274 \cdot 10^{- 24} J/Tl, μ_{z} = - g μ_{B} m

Магнетон Бора — «единица измерения» магнитного момента атома. Для орбитального движения $g_{l} = 1$ , для спина $g_{s} \approx 2,0023$ , $m_{s} = \pm \frac{1}{2}$ .

F_{z} = μ_{z} \frac{\partial B}{\partial z}, z = \frac{μ_{B} \frac{\partial B}{\partial z} L (\frac{L}{2} + D)}{m v^{2}}

Опыт Штерна–Герлаха: длина магнита $L$ , расстояние от магнита до пластинки $D$ , масса атома $m$ и его скорость $v$ .

Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}, g_{J} = 1 + \frac{J (J + 1) + S (S + 1) - L (L + 1)}{2 J (J + 1)}

В слабом поле уровни расщепляются на $2 J + 1$ подуровней (фактор Ланде $g_{J}$ ). При $S = 0$ имеем $g_{J} = 1$ — нормальный эффект Зеемана.

f_{L} = \frac{γ}{2 π} B_{0} = 42,58 \frac{MHz}{Tl} \cdot B_{0}, α = γ B_{1} τ

Ларморова (резонансная) частота протонов и угол отклонения при резонансном РЧ-импульсе.

\hat{𝐒} = \frac{ℏ}{2} 𝝈, σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Оператор спина и матрицы Паули. Если атом в состоянии «+» по $z$ измерять магнитом, повёрнутым на угол $φ$ , то $P (+) = \cos^{2} (φ / 2)$ .

Теория

Спин и магнитный момент

Электрон, вращающийся вокруг ядра, — это маленький круговой ток: его орбитальный магнитный момент пропорционален моменту импульса, $𝝁_{l} = - \frac{e}{2 m_{e}} 𝐋$ (гиромагнитное отношение $e / 2 m_{e}$ ), а единица измерения — магнетон Бора $μ_{B} = 9,274 \cdot 10^{- 24}$ Дж/Тл. В 1925 году Уленбек и Гаудсмит предположили, что у электрона есть собственный момент импульса — спин $s = \frac{1}{2}$ ; его магнитный момент «сильнее» вдвое ( $g_{s} \approx 2,0023$ ). Оператор спина $\hat{𝐒} = \frac{ℏ}{2} 𝝈$ (матрицы Паули), собственные значения $\pm \frac{ℏ}{2}$ ; уравнение Шрёдингера с учётом спина — уравнение Паули (добавочный член $μ_{B} 𝝈 \cdot 𝐁$ ). Релятивистское уравнение Дирака само «рождает» спин и $g = 2$ , а через решения с отрицательной энергией предсказало позитрон; отличие $g_{s}$ от 2 (0,1 %) — поправка квантовой электродинамики.

Опыт Штерна–Герлаха

Однородное поле только поворачивает магнитик, а неоднородное поле ( $\partial B / \partial z \neq 0$ ) ещё и втягивает его: $F_{z} = μ_{z} \partial B / \partial z$ . У атома серебра один внешний электрон находится в состоянии $l = 0$ , поэтому магнитный момент атома определяется спином электрона, $μ_{z} \approx \pm μ_{B}$ . По классической физике моменты направлены во все стороны, и на пластинке должна была получиться сплошная полоса (попробуйте режим «Классика»); в опыте же получились два пятна — проекция момента импульса квантована. Пятна имеют форму «губ», потому что градиент максимален посередине магнита. Скорости атомов разные (зависят от $T$ печи), поэтому пятна размыты: $z \propto 1 / v^{2}$ , наиболее вероятная скорость в пучке $v_{p} = \sqrt{3 k T / m}$ ; селектор скоростей делает пятна компактнее.

Измерение и матрицы Паули

В «последовательном» опыте первый магнит пропускает только верхний («+») пучок, а второй магнит повёрнут вокруг оси пучка на угол $φ$ . При $φ = 0$ все атомы снова идут в «+», при $φ = 180 °$ — все в «−», а при $φ = 90 °$ половина идёт туда, половина сюда: $P (+) = \cos^{2} (φ / 2)$ . Причина в том, что ${\hat{S}}_{z}$ и ${\hat{S}}_{x}$ не коммутируют ( $[{\hat{S}}_{x}, {\hat{S}}_{z}] = - i ℏ {\hat{S}}_{y}$ ): их нельзя одновременно точно измерить, а измерение по $x$ стирает «память» о $z$ . Угол между двумерным вектором состояния $(\binom{1}{0})$ и собственными векторами оператора ${\hat{σ}}_{n} = \cos φ σ_{z} + \sin φ σ_{x}$ равен $φ / 2$ — отсюда и получается $\cos^{2} (φ / 2)$ .

Эффекты Зеемана, Пашена–Бака и Штарка

Оператор Гамильтона заряженной частицы в поле $\hat{H} = {(\hat{𝐩} + e 𝐀)}^{2} / 2 m_{e} + U$ ; в однородном поле $𝐁$ из него возникает член $μ_{B} B ({\hat{L}}_{z} + 2 {\hat{S}}_{z}) / ℏ$ , поэтому энергетический уровень расщепляется на $2 J + 1$ подуровней: $Δ E = g_{J} μ_{B} B M_{J}$ . В векторной модели атома $𝐉 = 𝐋 + 𝐒$ прецессирует вокруг поля, а $𝐋$ и $𝐒$ — вокруг $𝐉$ ; при сложении моментов импульса $j = l \pm \frac{1}{2}$ . В атоме с нулевым спином ( $g = 1$ ) линия делится на 3 — нормальный эффект Зеемана (кадмий, 643,8 нм). Если спин есть, наблюдается сложный (аномальный) эффект: линия натрия $D_{1}$ расщепляется на 4, $D_{2}$ — на 6 компонент ( $g = 2, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}$ ). Правила отбора: $Δ M = 0$ ( $π$ , поляризована параллельно полю), $Δ M = \pm 1$ ( $σ$ , при наблюдении вдоль поля поляризована по кругу, $π$ не видна). Если поле сильнее интервала тонкой структуры, $𝐋$ и $𝐒$ прецессируют по отдельности, и линии вновь собираются в триплет — эффект Пашена–Бака (для лития нужно несколько тесла, для натрия — десятки тесла). В электрическом поле уровень $n = 2$ водорода: состояния $2 s$ и $2 p$ вырождены, теория возмущений для вырожденных уровней даёт $\pm 3 e a_{0} E$ — линейный эффект Штарка; в слабом поле (меньше тонкой структуры) сдвиг квадратичный.

Тонкая структура, лэмбовский сдвиг и магнитный резонанс

По формуле Дирака уровень водорода зависит и от $j$ : $E_{n j} = - \frac{13,6 эВ}{n^{2}} [1 + \frac{α^{2}}{n^{2}} (\frac{n}{j + 1 / 2} - \frac{3}{4})]$ ( $α \approx 1 / 137$ ). При $n = 2$ уровень $2 P_{3 / 2}$ выше $2 P_{1 / 2}$ на 10,97 ГГц (≈ $4,5 \cdot 10^{- 5}$ эВ) — это тонкая структура, откуда и берётся мультиплетность спектральных линий. В теории Дирака $2 S_{1 / 2}$ и $2 P_{1 / 2}$ имеют одинаковую энергию, а в опыте $2 S_{1 / 2}$ выше примерно на 1 058 МГц — это лэмбовский сдвиг (влияние колебаний вакуума). В магнитном поле переход между подуровнями возбуждает радиоволна: для электронов — электронный парамагнитный резонанс (ЭПР, $f = g μ_{B} B / h \approx 28$ ГГц/Тл; в X-диапазоне на частоте ≈ 9,5 ГГц $B$ ≈ 0,34 Тл), для протонов — ЯМР и МРТ (42,58 МГц/Тл). РЧ-поле $B_{1}$ отклоняет намагниченность $𝐌$ на угол $α = γ B_{1} τ$ , затем $𝐌$ вращается вокруг $B_{0}$ и наводит сигнал в катушке. Ткани различаются временами релаксации ( $T_{1}$ , $T_{2}$ ) — отсюда контраст на МРТ-изображении.

Тождественные частицы и принцип Паули

Два электрона нельзя отличить друг от друга: если их поменять местами, $| ψ |^{2}$ не изменится. Поэтому волновая функция либо симметрична (частицы с целым спином — бозоны: фотон, ⁴He), либо антисимметрична (с полуцелым спином — фермионы: электрон, протон, нейтрон). Антисимметричная функция обращается в нуль, если две частицы находятся в одном состоянии, — принцип Паули: в одном состоянии (при совпадении всех квантовых чисел, включая $m_{s}$ ) не могут находиться два электрона. Отсюда следуют периодическая система элементов и заполнение оболочек (подробнее — в эксперименте «Многоэлектронные атомы»). Пространственная функция электронов с параллельными спинами антисимметрична — они находятся дальше друг от друга, и кулоновская энергия уменьшается: это обменное взаимодействие. В железе оно выстраивает спины параллельно и создаёт ферромагнетизм (домены, спиновые волны — магноны); антиферромагнитный и ферримагнитный порядки тоже отсюда. В газе свободных электронов в металле из-за принципа Паули поворачиваются по полю только спины вблизи поверхности Ферми — это слабый парамагнетизм Паули; орбитальное движение даёт диамагнетизм Ландау (для свободных электронов — 1/3 от него). Подробнее — в эксперименте «Магнитные свойства вещества».

Знаете ли вы?

Опыт Штерна–Герлаха был проведён во Франкфурте в 1922 году, а гипотезу о спине электрона Уленбек и Гаудсмит высказали только в 1925 году — спин был «виден» в опыте раньше, чем в теории.
Большинство аппаратов МРТ работают в поле 1,5 Тл, широко распространены и аппараты на 3 Тл. Магнитное поле у поверхности Земли — примерно 25–65 мкТл, то есть поле МРТ сильнее его в десятки тысяч раз.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Опыт Резерфорда — 11 класс
Атомное ядро и энергия связи — 11 класс
Термоядерный синтез — 11 класс
Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс
Многоэлектронные атомы — 1 курс
Зоны в твёрдых телах — 1 курс
Шрёдингер и туннельный эффект — 3 курс
Квантовые точки и потенциальная яма — 3 курс
Молекула: связь и спектр — 3 курс