Физика · Атомная и квантовая физика · 11 класс

Опыт Резерфорда

Почему большинство альфа-частиц проходит сквозь золотую фольгу, а некоторые летят назад?

Ситуация

1909 год, Манчестер. Под руководством Эрнеста Резерфорда его ассистент Ханс Гейгер и студент Эрнест Марсден направляли пучок альфа-частиц на очень тонкую металлическую фольгу и в тёмной комнате считали в микроскоп крошечные вспышки на экране из ZnS. По тогдашней модели Томсона атом — положительно заряженный «пудинг», в котором, как изюм, расположены электроны, поэтому тяжёлая и быстрая альфа-частица должна была пролетать почти прямо. Но некоторые частицы отклонялись на большой угол, а иные даже отлетали назад. Что находится внутри атома и как, считая вспышки, узнать заряд и размер ядра?

Тема

Строение атома: опыт Резерфорда. Обстрел золотой фольги альфа-частицами: атом почти пуст

Ключевые понятия

Атомное ядро
Прицельный параметр
Формула Резерфорда

Формулы

\tan \frac{θ}{2} = \frac{d}{2 b}, d = \frac{2 Z e^{2}}{4 π ε_{0} E}

Прицельный параметр $b$ и угол рассеяния $θ$ ; $d$ — расстояние наибольшего сближения с ядром при центральном столкновении ( $E$ — кинетическая энергия α-частицы, $Z$ — заряд ядра).

\frac{d σ}{d Ω} = {(\frac{d}{4})}^{2} \frac{1}{\sin^{4} (θ / 2)}

Формула Резерфорда — дифференциальное сечение рассеяния.

N (θ) = I_{0} n t Δ Ω \frac{d σ}{d Ω} \propto \frac{Z^{2} t}{E^{2} \sin^{4} (θ / 2)}

Число вспышек, регистрируемых микроскопом: $I_{0}$ — поток α-частиц, $n$ — концентрация атомов, $t$ — толщина фольги, $Δ Ω$ — телесный угол экрана.

r_{\min} = \frac{d}{2} (1 + \frac{1}{\sin (θ / 2)})

Наименьшее расстояние до ядра на гиперболической траектории.

\frac{d σ}{d Ω} = | f (θ) |^{2}, f_{B} (θ) = - \frac{m}{2 π ℏ^{2}} \int V (𝐫) e^{i 𝐪 \cdot 𝐫} d^{3} r

Квантовое рассеяние: амплитуда $f$ и приближение Борна ( $ℏ q = 2 p \sin (θ / 2)$ — изменение импульса).

Теория

Модель Томсона и её предсказание

Дж. Дж. Томсон представлял атом как однородный положительно заряженный шар радиусом ≈ $10^{- 10}$ м, внутри которого, как «изюм в пудинге», расположены электроны (модель Томсона). Электрическое поле такого атома слабое: α-частица с энергией 7,7 МэВ, прошедшая атом золота, отклоняется не более чем на $θ_{1} = d / (2 R) \approx 0,005 °$ . Электроны же примерно в 7300 раз легче α-частицы — повернуть её они почти не могут. В фольге частица пересекает ≈ 2000 атомов, и отклонения складываются случайно: среднее $Θ \approx 0,8 \sqrt{N} θ_{1} \approx 0,2 °$ . Проверьте в режиме «Атом Томсона»: под углом больше 5° не будет ни одной вспышки.

Опыт Гейгера–Марсдена: в атоме есть ядро

В 1909–1913 годах Гейгер и Марсден направляли α-частицы радиоактивного источника на тонкую фольгу в вакуумной камере и считали вспышки на экране ZnS, вращающемся вокруг фольги. Большинство частиц проходило, почти не отклоняясь, но очень малая часть отражалась на угол больше 90°. Вывод Резерфорда (1911): положительный заряд атома и почти вся его масса сосредоточены в очень малом ядре, а электроны — вокруг него. Радиус ядра золота ≈ 7 фм, атома ≈ 0,15 нм — атом почти пуст. Заряд ядра $Z e$ равен порядковому номеру элемента; Чедвик (1920) измерил его именно этим методом — повторите это сами с неизвестной фольгой X в режиме «Ядерная модель».

Формула Резерфорда и сечение рассеяния

В кулоновском поле ядра α-частица движется по гиперболе (рассеяние в центральном поле), и угол зависит только от прицельного параметра $b$ : $\tan (θ / 2) = d / (2 b)$ . Частицы, попавшие в кольцо между $b$ и $b + d b$ , рассеиваются в интервал от $θ$ до $θ + d θ$ ; площадь кольца $d σ = 2 π b d b$ — сечение рассеяния. Разделив на $d Ω = 2 π \sin θ d θ$ , получим $d σ / d Ω = {(d / 4)}^{2} / \sin^{4} (θ / 2)$ . Значит, число вспышек $N \propto Z^{2} t / (E^{2} \sin^{4} (θ / 2))$ : если повернуть микроскоп с 60° на 120°, $N$ уменьшится в 9 раз. Гейгер и Марсден (1913) проверили постоянство $N \sin^{4} (θ / 2)$ , а также $N \propto t$ и $N \propto 1 / E^{2}$ .

Теория квантового рассеяния (кратко)

В квантовой механике падающая частица — плоская волна $e^{i k z}$ , рассеянная часть — сферическая волна $f (θ) e^{i k r} / r$ ; из амплитуды рассеяния $f$ получается дифференциальное сечение $d σ / d Ω = | f |^{2}$ . Если потенциал слабый, приближение Борна даёт $f$ как фурье-образ $V (𝐫)$ : для экранированного кулоновского потенциала $V \propto e^{- r / a} / r$ получается $d σ / d Ω \propto {(q^{2} + a^{- 2})}^{- 2}$ , а при $a \to \infty$ — в точности формула Резерфорда. В методе парциальных волн $f = \frac{1}{k} \sum_{l} (2 l + 1) e^{i δ_{l}} \sin δ_{l} P_{l} (\cos θ)$ : каждый момент импульса $l \approx k b$ получает свой фазовый сдвиг $δ_{l}$ . Для α-частицы 7,7 МэВ $ℏ / p \approx 0,8$ фм, что намного меньше $d \approx 30$ фм (параметр Зоммерфельда $η \approx 18$ ), поэтому классические траектории дают верный результат — понаблюдайте за $l$ и $η$ в режиме «Одна частица».

Планетарная модель и её кризис

Атом Резерфорда похож на Солнечную систему: вокруг ядра вращаются электроны (планетарная модель). Но по классической электродинамике ускоренно движущийся заряд излучает (формула Лармора $P = \frac{2}{3} k e^{2} a^{2} / c^{3}$ ). Электрон в атоме водорода, теряя энергию, должен был по спирали упасть на ядро примерно за $1,6 \cdot 10^{- 11}$ с, а частота излучения — непрерывно расти, давая сплошной спектр. Но на опыте атомы устойчивы и излучают линейчатый спектр. Это противоречие разрешили постулаты Бора (1913): электрон находится на разрешённых орбитах без излучения, уровни энергии $E_{n} = - 13,6 / n^{2}$ эВ; существование уровней подтвердил опыт Франка–Герца (1914). Подробнее — в экспериментах «Строение атома и спектры» и «Орбитали атома водорода».

О модели

Ядро считается неподвижным (для золота поправка на отдачу ≈ 2 %), каждая частица рассеивается на одном ядре один раз (тонкая фольга), экранирование электронными оболочками и ядерные силы не учитываются: если $r_{\min}$ достигает радиуса ядра $R \approx 1,2 A^{1 / 3}$ фм, формула нарушается (на лёгких ядрах наблюдалось такое «аномальное рассеяние»). Поток источника $I_{0} = 2 \cdot 10^{8}$ с⁻¹ и телесный угол, видимый микроскопом, $Δ Ω = 10^{- 3}$ ср — значения модели. Время счёта ускорено в 20 раз, вид атома увеличен примерно в $10^{9}$ – $10^{12}$ раз, вращение в планетарной модели замедлено.

Знаете ли вы?

В лекции 1936 года Резерфорд, вспоминая отброшенные назад α-частицы, сказал, что это было столь же невероятно, как если бы вы выстрелили 15-дюймовым снарядом в папиросную бумагу, а он вернулся и попал в вас.
В 1920 году Джеймс Чедвик по рассеянию α-частиц измерил заряды ядер меди, серебра и платины как 29,3; 46,3 и 77,4 элементарного заряда — очень близко к их порядковым номерам (29, 47, 78).

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Ядерные реакции — 11 класс
Орбитали атома водорода — 11 класс
Тепловое излучение и Планк — 11 класс
Импульс фотона и эффект Комптона — 11 класс
Волны де Бройля — 11 класс
Атомное ядро и энергия связи — 11 класс
Термоядерный синтез — 11 класс
Регистрация частиц — 11 класс
Элементарные частицы — 11 класс
Спин, эффект Зеемана и МРТ — 1 курс